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Controles 2 Cálculo Diferencial e Integral

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 30 2014, 03:40 PM Publicado: #1
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Seguimos con la cosa, reglas y saludos. Dudas, preguntas, aclaraciones, sugerencias por MP. Mensaje modificado por TribalJazz2 el Oct 17 2014, 10:24 AM -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 30 2014, 03:42 PM Publicado: #2
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Cálculo Diferencial 07-2 Control 2 Semestre Primavera 2007 P1. a) Dada una función continua $TEX: $f$$ , se definen las integrales $TEX: $A=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x)\, dx,\ B = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x)\, dx$$ y $TEX: $C=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin 2x)\, dx$$ . (2,0 ptos.) Mediante cambios de variables apropiados, demuestre que $TEX: $A=B=C$$ . (1,0 pto.) Si además se sabe que $TEX: $f(xy) = f(x) + f(y)$$ , pruebe que $TEX: $C=-\frac{\pi}{2} f(2)$$ . b) (1,5 ptos.) Dados $TEX: $m,n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$$ , calcule la integral $TEX: $I_{m,n} = \int_{0}^{2\pi} \sin (nx)\sin (mx)\, dx$$ , separando los casos $TEX: $m=n$$ de $TEX: $m\neq n$$ . Indicación: Recuerde que $TEX: $\sin \alpha \cdot\sin \beta = \frac{\cos (\alpha-\beta) + \cos (\alpha + \beta)}{2}$$ (1,5 ptos.) Use el resultado anterior para calcular $TEX: $J_m = \int_{0}^{2\pi} f(x)\sin (mx)\, dx\ \forall m\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$$ , para la función definida por $TEX: $f(x) = \sum_{k=1}^{100} a_k \sin (kx)$$ . Distinga los casos $TEX: $m\leq 100$$ de $TEX: $m > 100$$ . P2. a) Considere la función $TEX: $f(x) = x-\frac{1}{x} +2\ln x$$ . (1,0 pto.) Encuentre dominio, un cero y límites cuando $TEX: $x\to 0^+$$ y cuando $TEX: $x\to +\infty$$ de $TEX: $f$$ . (1,0 pto.) Calcule $TEX: $f^\prime$$ y determine intervalos de crecimiento de $TEX: $f$$ y puntos extremos locales y globales de $TEX: $f$$ (si existen). (1,0 pto.) Calcule $TEX: $f^{\prime\prime}$$ y determine intervalos donde $TEX: $f$$ es cóncava y donde es convexa. Encuentre las inflexiones de $TEX: $f$$ . Bosqueje el gráfico de $TEX: $f$$ . b) (3,0 ptos.) Usando la condición de Riemann, demuestre que la función $TEX: $f$$ definida por $TEX: \[f(x)= \begin{cases}<br />1 &\text{si }x\leq 1\\<br />2 &\text{si }x>1<br />\end{cases}\]$ es Riemann integrable en el intervalo $TEX: $[0,2]$$ . Indicación: Dada una partición $TEX: $P=\{x_0 ,\dots ,x_n\}$$ vea donde se cumple $TEX: $m_k(f) < M_k(f)$$ . P3. a) (2,0 ptos.) Sean $TEX: $x,t\in [0,1]$$ y $TEX: $f$$ continua en $TEX: $[0,1]$$ , se defina la función $TEX: $g$$ como $TEX: \[g(x)= \int_{0}^{1} e^{-\|x-t\|} f(t)\, dt\]$ Calcule $TEX: $g^\prime (x)$$ y verifique $TEX: $g^\prime (0) = g(0)$$ . Indicación: Separe en forma la integral que define a $TEX: $g$$ , recordando que $TEX: $\int_a^b h = \int_a^x h + \int_x^b h$$ . b) Calcule las siguientes primitivas: (1,0 pto.) $TEX: $I = \int \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\, dx$$ . (1,5 ptos.) $TEX: $J = \int \frac{x^2 +5}{(x-2)^3(x^2+4)} \, dx$$ . Aquí use separación en fracciones parciales pero NO CALCULE las constantes. (1.5 ptos.) $TEX: $K_n = \int x^n\sqrt{x+1} \, dx\ (n\in\mathbb{N})$$ . Aquí encuentre una fórmula de recurrencia entre $TEX: $K_n$$ y $TEX: $K_{n-1}$$ y calcule explícitamente $TEX: $K_0$$ . Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 30 2014, 03:46 PM Publicado: #3
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Cáclulo Diferencial 08-1 Control 2 Semestre Otoño 2008 P1. Considere la función $TEX: $f(x)=x\ln x$$ en el intervalo [1,2]. Para $TEX: $n\in\mathbb{N}$$ se define la partición $TEX: $P_n=\{x_0,\dots ,x_n\}$$ del intervalo [1,2] mediante la regla $TEX: $x_i=q^i$$ para $TEX: $i=0,\dots ,n$$ . a) (1,0 pto.) Determine el valor de $TEX: $q$$ tal que $TEX: $x_n=2$$ , calcule la norma de la partición $TEX: $P_n$$ y demuestre que $TEX: \[\lim_{n\to\infty} \\|P_n\\|=0\]$ b) (1,5 ptos.) Usando la partición $TEX: $P_n$$ , calcule la suma de Riemann $TEX: $S_n=\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k$$ en términos de $TEX: $q$$ , $TEX: $n$$ y la sumatoria $TEX: $\sum_{k=1}^n kq^k$$ . c) (1,5 ptos.) Sabiendo que $TEX: $\sum_{k=1}^n kq^k=q\frac{1-q^n-nq^n(1-q)}{(1-q)^2}$$ , encuentre una fórmula para la suma $TEX: $S_n$$ que le permita, pasando al límite, calcular la integral $TEX: $I=\int_1^2 f(x)\,dx$$ . d) (2,0 ptos.) Recalcule la misma integral, pero ahora usando primitivas y el TFC. Coteje sus respuestas. P2.* a) (3,0 ptos.) Sea $TEX: $g$$ una función dos veces derivable en $TEX: $\mathbb{R}$$ . Se define la función $TEX: $f$$ mediante la regla $TEX: \[f(x)=\int_0^x g(x-t)\sin t\,dt\]$ Demostrar que se verifica la relación $TEX: $f^{\prime\prime}(x)+f(x)=g(x)$$ para todo $TEX: $x\in\mathbb{R}$$ . Indicación: Hacer el cambio de variable $TEX: $x-t=u$$ . b) Sea $TEX: $f$$ la función definida por $TEX: \[f(x)=\int_x^{2x} \frac{dt}{\sqrt{t^4+t^2+2}}\]$ (1,5 ptos.) Demostrar que $TEX: $f$$ es impar. (1,5 ptos.) Calcular $TEX: $f^\prime(x)$$ y encontrar los intervalos donde $TEX: $f$$ crece y donde decrece. P3. Considere las funciones $TEX: $f(x)=\sin x$$ y $TEX: $g(x)=x(x-\pi)$$ , con $TEX: $x\in [0,\pi]$$ . Sea $TEX: $R$$ la región encerrada entre los gráficos de las dos funciones. a) (1,5 ptos.) Calcule el área de la región $TEX: $R$$ . b) (1,5 ptos.) Determine el volumen del sólido generado por la rotación de $TEX: $R$$ en torno al eje $TEX: $OY$$ . c) (1,5 ptos.) Encuentre la posición del centro de gravedad de la región $TEX: $R$$ . d) (1,5 ptos.) Determine el largo de la curva $TEX: $y=g(x)$$ . Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. Mensaje modificado por TribalJazz2 el Apr 20 2014, 03:12 PM -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

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Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Cálculo Diferencial 08-2 Control 2 Semestre Primavera 2008 P1. a) (3,0 ptos.) Mediante cambios de variables apropiados calcule: $TEX: \[\int \frac{2x-1}{3-2x-x^2}\, dx\qquad \int_{2^5}^{4^5} \frac{dx}{x+x^{3/5}}\]$ Indicación: Complete el cuadrado perfecto. b) (1,5 ptos.) Considere la integral $TEX: $I_n = \int \frac{du}{(1+u^2)^n}$$ . Demuestre que satisface la fórmula de recurrencia $TEX: \[I_{n+1} = \frac{u}{2n(1+u^2)^n} + \frac{2n-1}{2n}I_n\]$ c) (1,5 ptos.) Usando el cambio de variables $TEX: $u^2 = \frac{x-1}{x+1}$$ y la parte b), calcule $TEX: \[\int \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} \cdot \frac{dx}{x^2}\]$ P2. a) (2,0 ptos.) Identifique la sumatoria $TEX: $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2+k^2}$$ como una suma de Riemann y calcule su límite cuando $TEX: $n\to\infty$$ . b) Considere una función $TEX: $f:[a,b]\to[c,d]$$ continua, biyectiva y estrictamente creciente. (0,5 ptos.) Explique por qué $TEX: $f^{-1}$$ es también integrable y estrictamente creciente. (2,0 ptos.) Considere la partición $TEX: $P = \{x_0 , \dots , x_n\}$$ del intervalo $TEX: $[a,b]$$ y su correspondiente partición imagen $TEX: $P = \{f(x_0) , \dots , f(x_n)\}$$ del intervalo $TEX: $[c,d]$$ . Demuestre que $TEX: \[S(f,P) + s(f^{-1},Q) = bd - ac\]$ (1,5 ptos.) Use apropiadamente las continuidades de $TEX: $f$$ y $TEX: $f^{-1}$$ para demostrar (a partir de ii) que $TEX: $\int_c^d f^{-1} = bd - ac -\int_a^b f$$ . P3. Figura: FigC2Dif2008primavera.png ( 22.12k ) Número de descargas: 0 a) (2,0 ptos.)La figura muestra el gráfico de una función $TEX: $f(x)$$ en el intervalo $TEX: $[a,e]$$ . Con ella se define la función $TEX: $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$$ . Indique, argumentando apropiadamente, cuales son los crecimientos, concavidades y continuidad de la función $TEX: $F$$ . b) (2,0 ptos.) Integrando por partes y acotando apropiadamente pruebe que $TEX: $\lim_{n\to\infty} \left\|\int_1^{2\pi} \frac{\sin (nx)}{x}\, dx\right\| = 0$$ . c) (2,0 ptos.) Considere las funciones $TEX: $G(y) = \int_{\sqrt{y}}^{1} yf(t)\, dt$$ y $TEX: $H(x) = \int_0^{x^2} tf(x)\, dt$$ , donde $TEX: $f$$ es continua en $TEX: $\mathbb{R}$$ . Calcule $TEX: $G^\prime (x)$$ y $TEX: $H^\prime (x)$$ , y pruebe que si $TEX: $f(x) = x$$ , entonces $TEX: $\int_0^1 G(y)\, dy = \int_0^1 H(x)\, dx$$ . Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. Mensaje modificado por TribalJazz2 el Mar 30 2014, 04:03 PM -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

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Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Cálculo Diferencial 09-1 Control 2 Semestre Otoño 2009 P1. Sean $TEX: $f,g: [1,\infty]\rightarrow (0,\infty)$$ con $TEX: $g^\prime (t)>0,\ \forall t\geq 1$$ . Considere la siguiente parametrización de una curva $TEX: $\Gamma \subseteq \mathbb{R}^3$$ : $TEX: \[r(t)=(f(t)\cos(g(t)), f(t)\sin(g(t)),f(t))\]$ a) (1,0 pto.) Demostrar que $TEX: $\\|r^\prime (t)\\| =\sqrt{2((f^\prime (t))^2+f^2(t)\cdot(g^\prime(t))^2)}$$ . b) (1,5 ptos.) Para $TEX: $f(t)=\frac{1}{t}$$ y $TEX: $g(t)=t$$ determinar si la longitud de $TEX: $\Gamma$$ es convergente. c) (2,0 ptos.) Para $TEX: $f(t)=t$$ y $TEX: $g(t)=\sqrt{2}\ln(t)$$ , calcular el vector tangente, vector normal y curvatura de $TEX: $\Gamma$$ . d) (1,5 ptos.) Para $TEX: $f(t)=1$$ , calcular el vector binormal y la torsión. P2. a) (3,0 ptos.) Sea $TEX: $\sum b_n$$ una serie condicionalmente convergente y sea $TEX: \[a_n \begin{cases}<br />\|b_n\| \text{ si $n$ es par}\\<br />\frac{1}{n^4} \text{ si $n$ es impar}<br />\end{cases}\]$ Demuestre que $TEX: $\sum \sqrt{a_n\cdot a_{n+1}}$$ converge. b) (2,0 ptos.) Sea $TEX: $\sum a_n$$ convergente con $TEX: $a_n\geq 0$$ . Demuestre que $TEX: $\sum \sqrt{a_n\cdot a_{n+1}}$$ converge. ¿Es cierta la recíproca? c) (1,0 pto.) Demuestre que, para $TEX: $a_n\geq 0$$ , si $TEX: $\sum \sqrt{a_n\cdot a_{n+1}}$$ converge y $TEX: $(a_n)$$ converge a 0 de manera decreciente, entonces $TEX: $\sum a_n$$ converge. P3. Sea $TEX: $f:\left[\frac{7}{4},\infty\right.)\rightarrow [0,\infty)$$ definda por $TEX: \[f(x)=\begin{cases}<br />n^2(x-n)+1\quad\text{si $x\in [n-\frac{1}{n^2},n],\ n\geq 2$}\\<br />-n^2(x-n)+1\quad\text{si $x\in [n,n+\frac{1}{n^2}],\ n\geq 2$}\\<br />0\quad\text{cualquier otro caso}<br />\end{cases}\]$ a) (2,0 ptos.) Grafique $TEX: $f$$ en el intervalo $TEX: $\left[\frac{7}{4},4+\frac{1}{16}\right]$$ y deduzca el valor de $TEX: $\int_{\frac{7}{4}}^{4+\frac{1}{16}} f(x)\,dx$$ . b) (2,0 ptos.) Exprese $TEX: $\int_{\frac{7}{4}}^{\infty}f(x)\,dx$$ como una serie $TEX: $\sum_{i\geq 2}^{\infty} a_i$$ y determine su convergencia. c) (1,0 pto.) Demuestre que si $TEX: $\lim_{x\to\infty} f(x)=l>0$$ , entonces $TEX: $\int_0^{\infty} f(x)\,dx$$ no converge. d) (1,0 pto.) Discuta la validez de la siguiente afirmación: Si $TEX: $\int_a^\infty f(x)\,dx$$ converge, entonces $TEX: $\lim_{x\to\infty} f(x)=0$$ , con $TEX: $a\geq 0$$ fijo. Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

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Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Cálculo Diferencial 09-2 Control 2 Semestre Primavera 2009 P1. a) Calcule las siguientes primitivas a.1) (2,0 ptos.) $TEX: $\int x^3\sqrt{5-2x^2}\,dx$$ a.2) (2,0 ptos.) $TEX: $\int \frac{1}{2-\sin^2(x)}\,dx$$ b) (2,0 ptos.) Obtenga una relación de recurrencia para $TEX: \[I_n=\int\sqrt{x+b}(x+a)^n\,dx\qquad a,b,x>0\]$ y calcule $TEX: $I_0$$ . P2. a) (3,0 ptos.) Demuestre que $TEX: $\exists\xi\in (1,e)$$ tal que $TEX: \[\int_1^e (\ln(x))^{n+1}\,dx =(\ln(\xi))^n,\ n\geq 1\text{ y concluya que }\int_1^e (\ln(x))^{n+1}\,dx\leq \ln(\xi)\]<br />$ Debe justificar toda hipótesis que utilice. b) Sea $TEX: $a_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n [\ln(n+i)-\ln(n)]$$ . b.1) (1,0 pto.) Identifique a $TEX: $a_n$$ como una suma de Riemann, determinando la función y la partición involucradas. b.2) (2,0 ptos.) Calcule $TEX: $\lim_{n\to\infty} a_n$$ usando la integral apropiada. P3. a) Se definen, para $TEX: $x>0$$ , las funciones $TEX: \[G(x)=\int_1^\frac{1}{x} \frac{dt}{1+t^2}\qquad\text{ y }\qquad H(x)=\int_x^1 \frac{dt}{1+t^2}\]$ a.1) (1,0 pto.) Demuestre que $TEX: $G^\prime (x)=H^\prime (x)$$ . a.2) (1,0 pto.) Concluya, justificando, que $TEX: $G(x)=H(x),\ \forall x>0$$ . a.3) (1,0 pto.) Calcule las integrales definidas para $TEX: $G(x)$$ y $TEX: $H(x)$$ y deduzca la identidad. $TEX: \[arctan(x)+\arctan\left(\frac{1}{x}\right),\ \forall x>0\]$ b) b.1) (1,5 ptos.) Calcule $TEX: \[\lim_{x\to 1}\frac{\int_1^x (x-1)\sin(t^2)\,dt}{\int_{x^2}^{x^3} \sin(t^2-1)\,dt}\]$ b.2) (1,5 ptos.) Enuentre una función $TEX: $f$$ y un número real $TEX: $a>0$$ tales que $TEX: \[6+\int_a^x \frac{f(t)}{t^2}\,dt=2\sqrt{x},\qquad\forall x>0\]$ Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

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Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Pendiente. -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 30 2014, 03:58 PM Publicado: #10
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Cálculo Diferencial 11-2 Control 2 Semestre Primavera 2011 P1. a) (1,5 ptos.) Para la partición de $TEX: $[0,2]$$ dada por $TEX: $P=\{0,1,2,\}$$ , demuestre que $TEX: $s(f,P) = 1$$ y que $TEX: $S(f,P) = 4$$ b) (3,0 ptos.) Para $TEX: $n\in\mathbb{N}\setminus \{0\}$$ y $TEX: $\delta\in (0,1)$$ considere la partición dada por $TEX: \[P = \left\{ 0 ,\frac{1}{n},\frac{2}{n},\dots ,\frac{n}{n}, 1+\delta ,2\right\}\]$ c) (1,5 ptos.) Usando la parte b) y la condición de Riemann concluya que $TEX: $f$$ es integrable en $TEX: $[0,2]$$ . P2. (2,0 ptos.) Identifique la sumatoria $TEX: $S_n = 2\sum_{i=1}^{n}\frac{(3n+2i)^p}{n^{p+1}},\ p\in\mathbb{N}$$ como una suma de Riemann y calcule $TEX: $\lim_{n\to\infty} S_n$$ . (2,0 ptos.) Considere $TEX: $I_n (x) = \int_{0}^{x} y^n (y^2+a^2)^{-\frac{1}{2}}\, dy$$ . Aplique la técnica de integración por partes para demostrar que: $TEX: \[(n+2)I_{n+2} = x^{n+1}\sqrt{x^2+a^2}-(n+1)a^2I_n (x),\qquad n\geq 0\]$ Indicación: Note que $TEX: $I_{n+2}$$ puede escribirse como $TEX: $I_{n+2}(x) = \int_0^x y^{n+1}\frac{y}{\sqrt{y^2+a^2}}\, dy$$ . (2,0 ptos.) Calcule $TEX: \[\lim_{x\to 1}\frac{\int_1^x (x-1)\sin (t^2)\, dt}{\int_1^{x^2} \sin(t^2-1)\, dt}\]$ P3. Considere las funciones $TEX: $f(x)=\sin(x)$$ y $TEX: $g(x)=\pi x-x^2$$ definidas para $TEX: $x\in [0,\pi]$$ . a) (1,0 pto.) Demuestre que $TEX: $\forall x\in [0, \pi],\ g(x)\geq f(x)$$ . Indicación: Verifique que la función $TEX: $g(x)-f(x)$$ es cóncava en $TEX: $[0,\pi]$$ y conluya. b) (5,0 ptos.) Para la reguión $TEX: $R$$ del primer cuadrante definida por $TEX: \[R = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\in [0,\pi]\wedge y\in [f(x), g(x)]\}\]$ se pide calcular el área $TEX: $R$$ y calcular los volúmenes de los sólidos engendrados por la rotación de $TEX: $R$$ en torno al eje $TEX: $OX$$ y en torno al eje $TEX: $OY$$ . Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

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