No me sale una sumatoria..., Help please !! Opciones

[loliva]

Hola...bueno, algunos puede que ya me ubiquen. Estoy empezando hace poco en esto y tengo todas las ganas de aprender, no suelto los ejercicios que me dan o que busco en todo el dia, pero hay uno que me ha dejado loco.
Mi profe me dijo que salio en la prueba de nivel menor el año 2000, pero no me sale, si alguien me puede ayudar, estaria agradecido.
El ejercicio dice:
"Demostrar que la Sumatoria desde 1 a 2000 de 1/(n^3+3n^2+2n) es menor que 1/4"
Lo que Hago:
El (n^3+3n^2+2n) lo factorizo en n(n+1)(n+2), luego con el 1/n y 1/n+1 lo denoto como (1/n) - (1/n+1) a fin de practicar una telescopica...pero aqui es donde tengo los problemas, no se si el 1/n+2 sacarlo como una costante o es un factor en cada termino...Porfa oarientenme Oh Dioses matematicos !..

va la imagen...

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 1.JPG ( 4.76k ) Número de descargas:  2

 

[Rurouni Kenshin]

Observa que:

screen.width*0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaño original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img88.imageshack.us/img88/1773/ecsumatoria3lh.png');}" />

Cuando descubras la idea..trata de generalizar cuando es un producto de la forma
n(n+1)(n+2)...(n+m)
Saludos
PD:La forma fome de hacerlo es usando fracciones parciales...
PD:La suma la escribiste con respecto al "contador "i" y la expresion en su interior depende de n (error de tipeo supongo si nos referimos a un problema de olimpiada)

[loliva]

Mmm..analizaré tu pista, pero la verdad no sé a que te refieres con Fracciones parciales, a lo mejor lo sé pero no con ese nombre tan elegante.

Pd. Error de tipeo Mio, Fe de Erratas: Dice: i=1 Debe decir n=1.
Pd2: Gracias, estare atento para seguir aprendiendo.

[S. E. Puelma Moy...]

Voy a escribir un pequeño archivo sobre fracciones parciales para publicarlo en el foro, así van a aprender algo sobre el tema. Anda al sector de aprendizaje en unos minutos más

Tu problema es del año 2000, nivel MAYOR (prueba de clasificación)

[Rurouni Kenshin]

Mmm..analizaré tu pista, pero la verdad no sé a que te refieres con Fracciones parciales, a lo mejor lo sé pero no con ese nombre tan elegante.

Pd. Error de tipeo Mio, Fe de Erratas: Dice: i=1 Debe decir n=1.
Pd2: Gracias, estare atento para seguir aprendiendo.  

Con la pista que te di no necesitas saber fracciones parciales...asi que dele no mas..y acuerdese de las telescopicas...
PD:Ahora seria util que las aprendieras y ahi tendrias una segunda solucion...

[loliva]

Si por eso denote el ( 1/n )(1/n+1) a fin de practicar una telescopica, en el caso de la pista que me diste en la imagen, el ultimo termino tiene un factor "1/2", este factor lo trabajo como una constante? es decir, pasa delante de la sumatoria?...lo he hecho asi y no me sale...pero seguiré intentando !

[loliva]

Hola...creo que he llegado a algo partiendo de la pista de Kenshin...les posteo la imagen, para que los profes me la revisen...Nos vemos!

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 demo.JPG ( 41.73k ) Número de descargas:  2

 

[S. E. Puelma Moy...]

La solución está correcta... con el método de fracciones parciales (que fue usado implícitamente allí en la solución) resulta fácil

Como prometí en algún momento que explicaría mi solución (original de esa prueba), cumplo con dicha promesa:

Llamaremos F(n) a la suma: 1/(1·2·3)+1/(2·3·4)+...+1/(n(n+1)(n+2)) y nosotros queremos probar que F(2000)<1/4. Ingenuamente calculamos:
F(1)=1/4-1/12
F(2)=1/4-1/24
F(3)=1/4-1/40
F(4)=1/4-1/60

Ingenuamente intuimos que F(n)=1/4-1/(2(n+1)(n+2)), cosa que puede ser demostrada por inducción sin contratiempos... Para el que no sabe de fracciones parciales ni de suma telescópica, puede intentar adivinar la fórmula luego de darse los primeros valores, precisamente lo que acabo de decir

La demostración por inducción es sumamente sencilla. Una vez que tenemos la fórmula general, deducimos adicionalmente que F(n)<1/4, para todo n natural, que F(n) es creciente (esto es demasiado obvio) y que su límite cuando n tiende para infinito, es 1/4. Una vez más, colocar n=2000 fue sólo un truco elegante para que apareciera el año en cuestión.

[loliva]

Jojojo...no me habia dado cuento del lim...Bueno, Gracias por contestar y explicarme estas cosillas. Aunque ya no me queda tiempo para participar en competencias igual quiero seguir aprendiendo, como por ejemplo la maldita induccion que no se dignaron a presentarme antes de llegar a Santiago. Chaito !!

[Rurouni Kenshin]

Excelente..me alegra que te hayas dado cuenta...
Ahora me gustaria saber que se te inspira para el caso de 1/[n(n+1)(n+2)(n+3)]
Saludos y felicidades
(La lleva este monito)
Nota que cuando la suma era 1/2(1/2 - 1/(2001x2002)), eso es menor que 1/2x(1/2)=1/4