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MysticMan Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 11 2014, 10:09 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 550 Registrado: 24-July 11 Desde: Chillán Miembro Nº: 92.177 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Sean $A,B \subset \mathbb{R}$ dos subconjuntos no vacíos y acotados tales que para todo $a \in A$ y $b \in B$ se tiene que $a \leqslant b$. Demuestre que $sup(A) = inf(B)$ si y sólo si para todo $\epsilon > 0$, existen ${a^} \in A$ y ${b^} \in B$ tales que ${b^} - {a^} < \epsilon $.$ Saludos. -------------------- $TEX: $$1782^{12}+1841^{12}=1922^{12}$$$

nacharon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 12 2014, 05:44 AM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 321 Registrado: 25-February 13 Miembro Nº: 115.593 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(MysticMan @ Mar 11 2014, 10:09 PM) $TEX: Sean $A,B \subset \mathbb{R}$ dos subconjuntos no vacíos y acotados tales que para todo $a \in A$ y $b \in B$ se tiene que $a \leqslant b$. Demuestre que $sup(A) = inf(B)$ si y sólo si para todo $\epsilon > 0$, existen ${a^} \in A$ y ${b^} \in B$ tales que ${b^} - {a^} < \epsilon $.$ Saludos. como comentario, el hecho q mencionas sirve para definir una integral definida (valga la redundancia) en términos de el conjunto de las sumas superiores (B) y del conj. de las sumas inferiores (A), si no me equivoco, Darboux fue quien propuso esta idea

MysticMan Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 12 2014, 12:12 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 550 Registrado: 24-July 11 Desde: Chillán Miembro Nº: 92.177 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(nacharon @ Mar 12 2014, 07:44 AM) como comentario, el hecho q mencionas sirve para definir una integral definida (valga la redundancia) en términos de el conjunto de las sumas superiores (B) y del conj. de las sumas inferiores (A), si no me equivoco, Darboux fue quien propuso esta idea Sí, fue Darboux, de hecho este problema me salió en una guía introductoria al curso de cálculo integral (cálculo II) . Saludos. Mensaje modificado por MysticMan el Mar 12 2014, 12:33 PM -------------------- $TEX: $$1782^{12}+1841^{12}=1922^{12}$$$

Laulieth´ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 21 2014, 11:50 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 233 Registrado: 21-February 12 Desde: Cerro Navia, Santiago - Valparaíso Miembro Nº: 101.376 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(MysticMan @ Mar 11 2014, 10:09 PM) $TEX: Sean $A,B \subset \mathbb{R}$ dos subconjuntos no vacíos y acotados tales que para todo $a \in A$ y $b \in B$ se tiene que $a \leqslant b$. Demuestre que $sup(A) = inf(B)$ si y sólo si para todo $\epsilon > 0$, existen ${a^} \in A$ y ${b^} \in B$ tales que ${b^} - {a^} < \epsilon $.$ Como ambos conjuntos son no vacíos y acotados, por el axioma del supremo, tienen supremo e ínfimo en R;ahora bien,sabemos que el $TEX: sup(A)$ satisface que $TEX: \[\forall \varepsilon>0,\exists a^{}\in A,sup(A)-\varepsilon <a^{}\]$ , de similar forma, el $TEX: inf(B)$ satisface que $TEX: \[\forall \varepsilon>0,\exists b^{}\in B,b^{}< inf(B)+\varepsilon\]<br />$ .Si multiplicamos la primera desigualdad por $TEX: -1$ y la sumamos con la segunda tenemos $TEX: \[b^{}-a^{}<2\varepsilon + inf(B)-sup(A)\]<br />$ y como $TEX: sup(A)=inf(B)$ , y tomando $TEX: \[\varepsilon =\epsilon /2\]<br />$ se tiene lo pedido. Para la implicancia hacia la izquierda, notemos que si $TEX: \[b^{}-a^{}> 0\]<br />$ , entonces basta tomar $TEX: \[\epsilon =(b^{}-a^{})/2\]<br />$ y tenemos una contradicción, con lo cual $TEX: \[b^{}-a^{}\leq 0\leftrightarrow b^{}\leq a^{}\]<br />$ , además por hipótesis $TEX: \[b^{}-a^{}\geq 0\leftrightarrow a^{}\leq b^{}\]<br />$ , así $TEX: \[b^{}=a^{}\]<br />$ Por la hipótesis del enunciado $TEX: \[a\leq b^{} ,\forall a\in A\]<br />$ con lo cual b es una cota superior del conjunto A, teniéndose que $TEX: \[sup(A)\leq b^{}\]<br />$ , de igual forma $TEX: \[a^{}\leq b,\forall b\in B\]<br />$ , con lo cual a* es una cota inferior de B, por lo tanto $TEX: \[a^{}\leq inf(B)\]<br />$ . Como a=b* se tiene que $TEX: sup(A)=inf(B)$ y con eso estaríamos. Mensaje modificado por Laulieth´ el Mar 22 2014, 12:04 AM --------------------

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