[P2] Poligono con una cantidad impar de lados. Opciones

[Heiricar]

Considere un polígono con una cantidad impar de lados:

1. Si es convexo, ¿puede dividirse en una cantidad finita de paralelogramos?
2. Si es simple (no se intersecta a si mismo) ¿Puede una recta cortar todos sus lados?
3. Si no es simple ¿Puede cada lado tener exactamente una intersección con el polígono?

Justifique su respuesta.

Mensaje modificado por Heiricar el Feb 5 2014, 11:28 AM

[Guz]

1. No, no puede. Para demostrarlo uno puede partir con el hecho de que un polígono convexo no puede tener más 2 lados paralelos a una recta cualquiera. Parece obvio, pero la demostración no es tan fácil. Pero si aceptas que todo conjunto convexo es la intersección de todos los semi-planos que lo contienen, entonces la demostración es más sencilla.

De cualquier manera, supongamos que una figura F está formada por una cantidad finita de paralelogramos. Entonces, un lado cualquiera "a" comparte lado con uno de los paralelogramos, digamos P_1. En P1, el lado opuesto a aquel que comparte con "a" llamémoslo "p". Hay dos opciones: o bien "p" es parte de un lado de F, digamos a', y por ende a||a'; o bien "p" no pertenece a un lado de F. En el segundo caso, "p" pertenece al lado del polígono F'=F\P1 y repetimos el proceso, que necesariamente tiene que terminar. En cualquier caso, la conclusión es que en el polígono F un lado cualquiera tiene asociado un lado paralelo. Por ende, la cantidad de lados de F tiene que ser par.

2. Un polígono simple define una región "interior" y otra "exterior" del polígono sin ambigüedad. Por ende, cualquier recta debe cortarlo en una cantidad par de puntos, que marcan el paso de la recata desde la region exterior a la interior y viceversa. Como la recta empieza y termina en el exterior de una figura finita, debe intersectarla en una cantidad par de puntos.
Dicho esto, si la recta pasa por un vértice podría considerarse que pasa por un punto que pertence a dos lados (la simetral de un triángulo equilátero, ¿corta todos los lados?) y ahí si se podría, pero generalmente los vértices se distinguen de los lados.

3.Esta pregunta es un poco rara en mi humilde opinión. Supongo que la respuesta es "no" pues entonces cada punto de intersección podría ponerse en biyección con cada par de lados del polígono al cual pertenece. Por lo que el polígono tendría una cantidad par de lados.

[Guz]

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Mensaje modificado por Guz el Jan 22 2022, 02:48 PM

[Heiricar]

Perfecto!
Según recuerdo, estos problemas los vi en un libro blanco de recopilación de problemas de la sociedad brasileña de matemáticas, pero no recuerdo como se llamaba...

Saludos!

[Guz]

Me sorprendería que te acordaras, han pasado 8 años!