Divisibilidad - Foro fmat.cl

Divisibilidad, De Queen's Coll.

juan.pablo93 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 1 2014, 09:10 PM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 84 Registrado: 20-November 11 Miembro Nº: 97.401 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Si $TEX: $n$$ es un número primo, demuéstrese que... $TEX: $$1(2^{n-1} + 1) + 2\left(3^{n-1} + \dfrac{1}{2}\right) + 3\left(4^{n-1}+ \dfrac{1}{3}\right)+...+(n-1)\left(n^{n-1} + \dfrac{1}{n-1}\right)$$$ Es divisible por $TEX: $n$$

Fran5 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 2 2014, 03:22 PM Publicado: #2
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1 Registrado: 2-January 14 Miembro Nº: 126.287 Nacionalidad: Sexo:	Hola, soy Francisco de Argentina, y estaba cureoseando en este foro lindo foro estaba chusmeando problemas y vi este que me parecio lindo Llamemos $TEX: $S$$ a la suma inicial Por fermat, tenemos que $TEX: $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} $$ (por comodidad, sea $TEX: $ p = n $$ ) Luego, ponemos cada uno de las potencias en modulo $TEX: $p$$ y hacemos distributiva con los coeficientes Nos queda $TEX: $ S = \displaystyle \sum_{i=1}^{n-1} i ( (i+1)^{n-1} + \dfrac{1}{i}) \equiv \sum_{i=1}^{n-1} i ( 1 + \dfrac{1}{i}) \equiv \sum_{i=1}^{n-1} i + 1 \pmod{p} $$ La suma nos queda entonces $TEX: $ S \equiv \dfrac{(n-2)(n-1)}{2} + n-1 \pmod{p}$$ lo cual podemos multiplicar por dos (que es coprimo con p) Luego, $TEX: $S \equiv (n-2)(n-1)+2(n-1) = (n-2+2)(n-1) = n(n-1) \equiv 0 \pmod{p}$$ QED

juan.pablo93 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 3 2014, 08:32 PM Publicado: #3
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 84 Registrado: 20-November 11 Miembro Nº: 97.401 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Muy buena solución , saludos

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