Control 2 2013/2 - Foro fmat.cl

Portal Matemático

¿Qué es FMAT?

Foro fmat.cl > Programa Enseñanza Universitaria > Comunidades Universitarias > Universidad de Chile > Cálculo Diferencial

Reply to this topic

Start new topic

Control 2 2013/2, en latex :O

Kasanizo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 16 2013, 03:21 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 319 Registrado: 1-February 12 Desde: Providencia, Santiago Miembro Nº: 100.801 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: $\mathbf{CONTROL}$ $\mathbf{2}$$ P1. a) (3,0 ptos.) Dada la función $TEX: $\displaystyle f(x)=\int_x^2 \frac{1}{\sqrt{1+t^3}}dt$$ Calcular $TEX: $\displaystyle \int_0^2xf(x)dx$$ b) (3,0 ptos.) Demuestre que en todo rectángulo de lados a y b, la parábola que pasa por sus dos vértices superiores y el punto medio del lado inferior (ver figura), cubre siempre una misma fracción del área del rectángulo figura_control_2_2013_2_diferencial.PNG ( 7.13k ) Número de descargas: 5 P2. a) (2,0 ptos.) Demuestre que $TEX: $\displaystyle J=\int_0^4x\sqrt{4-(x-2)^2}dx=4\pi$$ b) Considere la función $TEX: $\displaystyle f:\mathbb{R_+}\to \mathbb{R}$$ definida como $TEX: $\displaystyle f(x)=\int_1^x\frac{ln(t)}{1+t}dt$$ i) (1,0 pto.) Demuestre que $TEX: $\displaystyle \forall x>0,$ $f(x)\geq0$$ ii) (2,0 ptos.) Demuestre que $TEX: $\displaystyle f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{1}{2}(ln(x))^2$$ iii) (1,0 pto.) Calcule el área encerrada entre la curva $TEX: $\displaystyle g(x)=\frac{ln(x)}{1+x}$$ y el eje $TEX: $OX$$ desde $TEX: $\displaystyle x=\frac{1}{e}$$ hasta $TEX: $\displaystyle x=e$$ P3. a) i) (1,5 ptos.) $TEX: Calcule $\displaystyle \int ln(1+x^2)dx$$ ii) (1,5 ptos.) Calcule $TEX: $\displaystyle \lim_{n \to \infty} ln \sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}[1+(\frac{k\pi}{n})^2]}$$ b) Dadas las funciones $TEX: $\displaystyle f(x)=sen(x)$$ y $TEX: $\displaystyle g(x)=cos(x)$$ , determine: i) (1,0 pto.) El volumen del sólido de revolución engendrado al rotar el área achurada $TEX: $\displaystyle A_1$$ , en torno al eje $TEX: $\displaystyle OX$$ . ii) (2,0 ptos.) El volumen del sólido de revolución engendrado al rotar el área $TEX: $\displaystyle A_2$$ , en torno al eje $TEX: $\displaystyle OY$$ . figura_2_control_2_diferencial_2012_3.PNG ( 11.27k ) Número de descargas: 2 Justifique cada uno de sus pasos. Tiempo: 3:00 Mensaje modificado por Kasanizo el Nov 16 2013, 03:25 PM -------------------- Cuidar la propia ortografía es una forma de respeto no sólo hacia los demás, sino que también hacia uno mismo.

Maestro Supremo ... Maestro Supremo PUC Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 23 2013, 09:48 PM Publicado: #2
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 5 Registrado: 23-November 13 Desde: En la PUC Miembro Nº: 124.897 Universidad:	a que facil, ademas les dan mucho tiempo, con tanto tiempo en la PUC hacemos 2 de esas pruebitas. -------------------- Representante de la élite intelectual Presidente de la cofradía PUC, periodo 2012-2014.

Kasanizo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 23 2013, 10:50 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 319 Registrado: 1-February 12 Desde: Providencia, Santiago Miembro Nº: 100.801 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	gracias por el up -------------------- Cuidar la propia ortografía es una forma de respeto no sólo hacia los demás, sino que también hacia uno mismo.

tomatin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 25 2013, 02:37 AM Publicado: #4
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 6 Registrado: 24-November 13 Miembro Nº: 124.936 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	me tiro con la P3. i) integramos por partes: sea $TEX: $$u=\ln (1+x^{2})\to du=\frac{2x}{1+x^{2}}dx$$$ y $TEX: $$dv=dx\to v=x$$$ entonces $TEX: $$\int{\ln (1+x^{2})dx=x}\ln (1+x^{2})-2\underbrace{\int{\frac{x^{2}}{1+x^{2}}}dx}_{J}$$$ ahora definimos $TEX: $$x=\tan \theta \to dx=\sec ^{2}\theta$$$ quedando $TEX: $$J=\int{\frac{\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\sec ^{2}\theta d\theta =\int{\tan ^{2}\theta d\theta }=\int{(\sec ^{2}\theta -1)d\theta }=\tan \theta -\theta$$$ si restituimos queda $TEX: $$J=x-\arctan x$$$ así $TEX: $$\int{\ln (1+x^{2})dx=x\ln (1+x^{2})-2(}x-\arctan x)+C$$$ ii) $TEX: $$I=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\ln \sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^{n}{\left[ 1+\left( \frac{k\pi }{n} \right)^{2} \right]}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\ln \left\{ \prod\limits_{k=1}^{n}{\left[ 1+\left( \frac{k\pi }{n} \right)^{2} \right]} \right\}^{\frac{1}{n}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\ln \left\{ \prod\limits_{k=1}^{n}{\left[ 1+\left( \frac{k\pi }{n} \right)^{2} \right]} \right\}$$$ notemos que $TEX: $$\ln \left\{ \prod\limits_{k=1}^{n}{\left[ 1+\left( \frac{k\pi }{n} \right)^{2} \right]} \right\}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\ln }\left[ 1+\left( \frac{k\pi }{n} \right)^{2} \right]$$$ así $TEX: $$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\ln \sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^{n}{\left[ 1+\left( \frac{k\pi }{n} \right)^{2} \right]}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}{\ln }\left[ 1+\left( \frac{k\pi }{n} \right)^{2} \right]=\frac{1}{\pi }\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\pi }{n}\sum\limits_{k=1}^{n}{\ln }\left[ 1+\left( \frac{k\pi }{n} \right)^{2} \right]$$$ si consideramos una partición regular del intervalo $TEX: $$\left[ 0,\pi \right]$$$ , podemos pasar el límite a una integral y la cuestión nos queda $TEX: $$\frac{1}{\pi }\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\pi }{n}\sum\limits_{k=1}^{n}{\ln }\left[ 1+\left( \frac{k\pi }{n} \right)^{2} \right]=\frac{1}{\pi }\int\limits_{0}^{\pi }{\ln (1+x^{2})}dx$$$ ahora simplemente nos colgamos de la P3.i y nos queda $TEX: $$I=\frac{1}{\pi }\left[ x\ln (1+x^{2})-2(x-\arctan x) \right]_{0}^{\pi }=\frac{1}{\pi }\left[ \pi \ln (1+\pi ^{2})-2\pi +2\arctan \pi \right]$$$

tomatin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 28 2013, 12:39 AM Publicado: #5
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 6 Registrado: 24-November 13 Miembro Nº: 124.936 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	pregunta: estás seguro de que en la P2.b.i es para todo x>0 y no para todo x>1?

tomatin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 29 2013, 02:37 AM Publicado: #6
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 6 Registrado: 24-November 13 Miembro Nº: 124.936 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P1.a) Sea $TEX: $$u=f(x)\to du=f'(x)dx$$$ y $TEX: $$dv=xdx\to v=\frac{x^{2}}{2}$$$ Integrando por partes (recordar, además, que $TEX: <br />$$\int\limits_{a}^{a}{g(x)dx=0}$$$ ) $TEX: $$I=\int\limits_{0}^{2}{xf(x)dx=}\left[ \frac{x^{2}}{2}f(x) \right]_{0}^{2}-\int\limits_{0}^{2}{\frac{x^{2}}{2}f'(x)dx=}-\left[ \frac{x^{2}}{2}f'(x) \right]_{0}^{2}$$<br />$ Derivamos f(x): $TEX: $$\frac{d}{dx}\int\limits_{x}^{2}{\frac{1}{\sqrt{1+t^{3}}}dt=-}\frac{1}{\sqrt{1+x^{3}}}$$<br />$ Con esto $TEX: $$I=-\left[ \frac{x^{2}}{2}f'(x) \right]_{0}^{2}=-\left[ \frac{x^{2}}{2}\frac{-1}{\sqrt{1+x^{3}}} \right]_{0}^{2}=\frac{2}{3}$$$

Kasanizo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 29 2013, 08:00 PM Publicado: #7
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 319 Registrado: 1-February 12 Desde: Providencia, Santiago Miembro Nº: 100.801 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(tomatin @ Nov 28 2013, 12:39 AM) pregunta: estás seguro de que en la P2.b.i es para todo x>0 y no para todo x>1? sip, seguro -------------------- Cuidar la propia ortografía es una forma de respeto no sólo hacia los demás, sino que también hacia uno mismo.

tomatin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 3 2013, 10:55 PM Publicado: #8
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 6 Registrado: 24-November 13 Miembro Nº: 124.936 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	(estaba bien x>0) me voy con la P2.b i) recordemos que si $TEX: $$g(x)\le h(x)$$$ entonces $TEX: $$\int{g(x)dx\le \int{h}}(x)dx$$$ y que $TEX: $$\ln (x)\ge 0\quad \forall x\ge 1$$$ entonces podemos analizar el problema en 2 partes: $TEX: <br />$$x\in (0,1)$$$ y $TEX: $$x\in [1,\infty )$$$ para $TEX: $$x\in (0,1)$$$ , $TEX: $$\int\limits_{1}^{x}{\frac{\ln (t)}{1+t}dt}=-\int\limits_{x}^{1}{\frac{\ln (t)}{1+t}dt=}\int\limits_{x}^{1}{-\frac{\ln (t)}{1+t}dt}$$$ sin embargo, como el logaritmo es negativo en (0,1), $TEX: <br />$$g(t)=-\frac{\ln (t)}{1+t}>0$$$ y con ello $TEX: $$\int\limits_{1}^{x}{\frac{\ln (t)}{1+t}dt}>0$$$ análogamente, para $TEX: $$x\in [1,\infty )$$$ , basta notar que, como ln(1)=0 la función $TEX: $$\frac{\ln (t)}{1+t}dt\ge 0$$$ y, por ende $TEX: $$f(x)=\int\limits_{1}^{x}{\frac{\ln (t)}{1+t}dt}\ge 0$$$ y bueno, juntando ambas cosas, se obtiene lo pedido. ii) (me costó un poco sacarla) lo primero es notar que: $TEX: <br />$$\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{2}(\ln (x))^{2} \right)=\frac{\ln (x)}{x}$$<br />$ y que por lo tanto $TEX: $$\frac{1}{2}(\ln (x))^{2}=\int{\frac{\ln (x)}{x}}dx=\int\limits_{1}^{x}{\frac{\ln (t)}{t}dt}$$$ entonces, reordenando un poco: $TEX: $$\int\limits_{1}^{x}{\frac{\ln (t)}{1+t}dt}+\int\limits_{1}^{1/x}{\frac{\ln (t)}{1+t}dt=\int\limits_{1}^{x}{\frac{\ln (t)}{t}dt}}\ \ \to \ \ \int\limits_{1}^{1/x}{\frac{\ln (t)}{1+t}dt}=\int\limits_{1}^{x}{\frac{\ln (t)}{t}dt}-\int\limits_{1}^{x}{\frac{\ln (t)}{1+t}dt}$$$ así: $TEX: $$\int\limits_{1}^{1/x}{\frac{\ln (t)}{1+t}dt}=\int\limits_{1}^{x}{\frac{\ln (t)}{t(1+t)}dt}$$$ ahora, para $TEX: $$f(\frac{1}{x})$$$ definamos el cambio de variable $TEX: $$t=\frac{1}{u}$$$ entonces los limites superior e inferior nos quedan respectivamente u y 1, mientras que $TEX: $$dt=-\frac{1}{u^{2}}du$$$ entonces $TEX: $$\int\limits_{1}^{1/x}{\frac{\ln (t)}{1+t}dt}=\int\limits_{1}^{u}{\frac{\ln ({1}/{u}\;)}{1+{1}/{u}\;}}\frac{-1}{u^{2}}du=\int\limits_{1}^{u}{\frac{-u\left[ \ln (1)-\ln (u) \right]}{u^{2}(u+1)}}du=\int\limits_{1}^{u}{\frac{\ln (u)}{u(u+1)}du}$$$ eso, el resto de las preguntas son triviales

tomatin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 29 2014, 12:54 PM Publicado: #9
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 6 Registrado: 24-November 13 Miembro Nº: 124.936 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	ya po, denle el visto bueno a las hueas, que en vola estan malas y yo quiero ser como kaissa cuando anciano

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 29 2014, 12:56 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(tomatin @ Jan 29 2014, 12:54 PM) ...y yo quiero ser como kaissa cuando anciano Maldito xDDDDD me dio risa! -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

« Posterior · Cálculo Diferencial · Anterior »

Reply to this topic

Start new topic

1 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (1 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))

0 miembro(s):

Modo de Ver: Estándar · Cambiar a: Lineal+ · Cambiar a: Outline

Suscribirse · Enviar por correo · Imprimir · Suscribirse a este foro

Versión Lo-Fi

Fecha y Hora actual: 18th February 2025 - 06:10 PM

Powered By IP.Board 2.2.1 © 2007 IPS, Inc.