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Controles 1 Cálculo Diferencial e Integral, ¡Malla nueva y más allá!

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 5 2013, 07:01 AM Publicado: #11
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Cálculo Diferencial 12-1 Control 1 Semestre Otoño 2012 P1. Considere una caja de base cuadrada de lado $TEX: $a$$ y altura $TEX: $h$$ . Un insecto está localizado en el vértice $TEX: $A$$ y debe llegar al vértice $TEX: $B$$ caminando en línea recta desde $TEX: $A$$ hasta $TEX: $P$$ por la tapa de la caja y de igual forma se desplaza desde $TEX: $P$$ hasta $TEX: $B$$ por la cara frontal (ver figura). Determinar la posición del punto $TEX: $P$$ de manera de minimizar la distancia total recorrida. Justifique su respuesta. Figura: A09S1Calc.png ( 28.57k ) Número de descargas: 0 P2. Considere la función definida por $TEX: \[f(x)=\begin{cases}<br />x & \text{si } x<0\\<br />a & \text{si } x=0\\<br />\sin{bx} & \text{si } x>0<br />\end{cases}\]$ a) (3,0 ptos.) Determine los valores de $TEX: $a$$ y $TEX: $b$$ para que $TEX: $f$$ sea derivable en todo $TEX: $\mathbb{R}$$ . b) (3,0 ptos.) Encuentre el desarollo de Taylor de orden 2 en $TEX: $f$$ en torno a $TEX: $x_0=0$$ . P3. a) Considere la función $TEX: $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ definida por $TEX: $h(x)=x^7+4x^3-3$$ . a.1) (1,5 ptos.) Demuestre que existe un único real $TEX: $x_0\in [0,1]$$ tal que $TEX: $h(x_0)=0$$ . a.2) (0,5 ptos.) Pruebe que $TEX: $x=0$$ es un punto de inflexión de $TEX: $h(x)$$ . b) Considere la función $TEX: $f(t)=u(t)-v(t)$$ donde las funciones $TEX: $u, v: [0,T]\to\mathbb{R}$$ son diferenciables (derivables) en $TEX: $(0,T)$$ y tales que $TEX: $u(0)=v(0)$$ y $TEX: $u(T)=v(T)$$ . b.1) (2,0 ptos.) Demuestre, justificando su respuesta, que existe $TEX: $t_0\in (0,T)$$ tal que $TEX: $u^\prime (t_0)=v^\prime (t_0)$$ . b.2) (2,0 ptos.) Suponga ahora que $TEX: $u(t)$$ y $TEX: $v(t)$$ representan las trayectorias de dos corredores, donde $TEX: $t$$ es la variable tiempo. Interprete entonces las hipótesis en (b) y el resultado obtenido en (b.1). Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. Mensaje modificado por TribalJazz2 el Nov 9 2013, 07:07 PM -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 5 2013, 07:04 AM Publicado: #12
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Cálculo Diferencial 12-2 Control 1 Semestre Primavera 2012 P1. Se debe e construir una pirámide regular de base cuadrada de modo que la superfcie total de sus 4 caras laterales sea $TEX: $S_T=4S$$ donde $TEX: $S$$ es la superficie de cada cara lateral. Se pide encontrar el máximo volumen de esta pairámide en función de $TEX: $S (V_{\text{m\'ax}}=V(S))$$ para lo cual proceda como sigue: A12S2Calc.png ( 41.76k ) Número de descargas: 0 (0,5 ptos.) Demuestre que el valor de la altura $TEX: $\overline{VT}$$ de la cara $TEX: $BDV$$ , de la pirámide, que es un triángulo isóceles, es $TEX: $VT=\frac{1}{2}\sqrt{4h^2+x^2}$$ , donde $TEX: $h$$ es la altura de la pirámide y $TEX: $x$$ es la longitud del lado de la base (ver figura). (1,5 ptos.) Deduzca una relación entre $TEX: $x,\, h$$ y $TEX: $S$$ y encuentre una expresión $TEX: $V(x)$$ para el volumen de la pirámide ( $TEX: $V=\frac{1}{2}\text{BASE}\cdot \text{ALTURA}$$ ). (4,0 ptos) Determine las dimensiones de $TEX: $x$$ y $TEX: $h$$ que producen el máximo volumen. Justifique que es máximo y calcule $TEX: $V_{\text{m\'ax}}$$ . Indicación: En una pirámide regular, la altura $TEX: $\overline{VO}$$ es perpendicular al plano de la base y por lo tanto, perpendicular a toda recta del plano que pase por $TEX: $O$$ . P2. a) Considere la familia de polinomios $TEX: $g_n (x)=x^n+x-1$$ . (1,0 pto.) Probar que $TEX: $\forall n\geq 1\ g_n (x)$$ tiene una raíz $TEX: $r_n$$ positiva. (1,0 pto.) Demuestre que la sucesión de raíces $TEX: $(r_n)_{n\geq 1}$$ tiene una subsucesión convergente. b) (4,0 ptos.) Sea $TEX: $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ una función dos veces derivable con $TEX: $f(2)=0$$ . Se define la función $TEX: $F(x)=(x-1)^2f(x)$$ . Aplicar el Teorema del Valor Medio adecuadamente para probar que existe $TEX: $\xi\in (1,2)$$ tal que $TEX: $F^{\prime\prime} (\xi)=0$$ . P3. a) Sean $TEX: $f,g :\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ funciones derivables que cumplen las propiedades siguientes: $TEX: \begin{eqnarray}<br />&g(x)=xf(x)+1\\<br />&\forall x,y\in\mathbb{R} g(x+y)=g(x)g(y)\\<br />&f(0)=1<br />\end{eqnarray}$ (2,0 ptos.) Demuestre que $TEX: $g^\prime (x)=g(x),\ \forall x\in\mathbb{R}$$ . (2,0 ptos.) Demuestre que $TEX: $\forall n \geq 1,\ xf^{(n)}(x)+nf^{(n-1)}(x)=g(x)$$ y calcule $TEX: $f^{(n)}(0)$$ . b) Sea $TEX: $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ una función diferenciable tal que $TEX: $f(x)>0,\ \forall x\in\mathbb{R}$$ . Demuestre que $TEX: \[\lim_{\delta\to 0}\left(\frac{f(x+\delta x)}{f(x)}\right)^\frac{1}{\delta}\]$ existe, es positivo y calcúlelo. Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. Mensaje modificado por TribalJazz2 el Nov 9 2013, 07:06 PM -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 5 2013, 07:07 AM Publicado: #13
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Cálculo Diferencial 13-1 Control 1 Semestre Otoño 2013 P1. a) (3,0 ptos.) Sea $TEX: $f$$ una función sobre $TEX: $[-a,a]$$ , tal que $TEX: $f(-a)=f(a)$$ . Demuestre que existe $TEX: $c\in [0,a]$$ tal que $TEX: $f©=f(c-a)$$ . Indicación: Considere la función $TEX: $g(x)=f(x)-f(x-a),\ x\in [0,a]$$ . b) (3,0 ptos.) Sea $TEX: $K\in\mathbb{N}$$ . Demuestre que $TEX: $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}<\frac{1}{2K}$$ , para todo $TEX: $n>K^2$$ . (Aplique TVM a una función adecuada al problema) P2. a) (3,0 ptos.) Sean $TEX: $f$$ y $TEX: $g$$ las siguientes funciones: $TEX: \begin{eqnarray}<br />f(x)=\begin{cases}<br />x\sin \left(\frac{1}{x}\right) &\text{si } x\neq 0\\<br />0 &\text{si } x=0<br />\end{cases}\\<br />g(x)= \sin\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)<br />\end{eqnarray}$ Calcule (si existen) $TEX: $(f\circ g)^\prime (0)$$ y $TEX: $(g\circ f)^\prime (0)$$ . b) (3,0 ptos.) Sea $TEX: $y=\frac{1}{1+u^2}$$ y $TEX: $u=\frac{1}{1+x^2}$$ . Calcule $TEX: $\frac{dy}{dx}$$ utilizando la regla de la cadena (su resultado debe depender solo de $TEX: $x$$ ) y compruebe su resultado utilizando $TEX: $y=y(x)$$ . P3. Estudiar analíticamente el gráfico de la función $TEX: $f(x)=3x-\frac{1}{x}-4\ln (x)$$ . (0,5 ptos.) Indicar dominio, simetrías, ceros, recorrido. (1,0 pto.) Asíntotas (2,0 ptos.) Estudiar con su derivada, crecimiento, valores extremos. (2,0 ptos.) Idem con la segunda derivada, concavidad, valores extremos y puntos de inflexión. (0,5 ptos.) Dibujar el gráfico. P4. a) (2,0 ptos.) Sea $TEX: $y=y(x)$$ uan función que satisface la ecuación $TEX: $y^\prime =y^3+2x$$ . Si $TEX: $y(0)=3$$ , calcule el valor aproximado de $TEX: $y(0,2)$$ mediante el polinomio de Taylor de orden 3 de $TEX: $y$$ en torno a $TEX: $x=0$$ . b) (4,0 ptos.) Calcule las siguientes primitivas: $TEX: $\int e^{\sqrt{x}}\,dx$$ $TEX: $\int x^3\sqrt[3]{x^2+m}\,dx$$ $TEX: $\int x\arctan x \,dx$$ Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. P4. Pendiente. Mensaje modificado por TribalJazz2 el Nov 10 2013, 09:22 AM -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 9 2013, 07:05 PM Publicado: #14
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Cálculo Diferencial 13-2 Control 1 Semestre Primavera 2013 P1. Sea $TEX: $I:\subseteq \mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ una función definida en un intervalo $TEX: $I$$ . (Obs: Las siguientes partes son independientes). a) (2,0 ptos.) Demuestre que si $TEX: $f$$ es continua en $TEX: $I$$ , derivable en $TEX: $\text{Int}(I)$$ y $TEX: $\forall x\in \text{Int}(I) \|f^\prime (x)\|\leq 2$$ , entonces $TEX: $f$$ es Lipschitziana en $TEX: $I$$ , es decir, $TEX: \[\exists L > 0,\ \forall x_1, x_2\in I\quad \|f(x_1)-f(x_2)\|\leq L \|x_1-x_2\|\]$ b) (1,0 pto.) Demuestre que si $TEX: $f$$ es Lipschitziana en $TEX: $I$$ (no necesariamente derivable), entonces $TEX: $f$$ es continua en $TEX: $I$$ . c) (2,0 ptos.) Demuestre que si $TEX: $f$$ es Lipschitziana en $TEX: $I$$ (no necesariamente derivable), entonces $TEX: $f$$ es uniformemente continua, es decir $TEX: \[\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta >0,\ \forall x_1, x_2 \in I\quad \|x_1-x_2\|\leq \delta \Rightarrow \|f(x_1)-f(x_2)\|\leq \varepsilon\]$ d) (1,0 pto.) Demuestre que si $TEX: $f$$ es uniformemente continua en $TEX: $I$$ , entonces $TEX: $f$$ es continua en $TEX: $I$$ . P2. a) Sea la función $TEX: $f$$ definida por $TEX: \[f(x)=\begin{cases}<br />\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x} & \text{si } x\neq k\pi, k\in\mathbb{Z}\\<br />c & \text{si } x=0<br />\end{cases}\]$ (2,0 ptos.) Determine $TEX: $c_0\in\mathbb{R}$$ tal que, si $TEX: $c=c_0,\ f$$ sea continua en $TEX: $x=0$$ . (2,0 ptos.) Si $TEX: $c=c_0$$ estudie la derivabilidad de $TEX: $f$$ en $TEX: $x=0$$ .¿Qué ocurre si $TEX: $c\neq c_0$$ ? b) (2,0 ptos.) Sea $TEX: $f:[0,3]\to[1,2]$$ continua en todo su dominio. Demuestre que $TEX: $f$$ tiene un punto fijo, es decir $TEX: \[\exists x_0\in [0,3]\: f(x_0)=x_0\]$ Verifique además que $TEX: $x_0\neq 0$$ y $TEX: $x_0\neq 3$$ P3. a) Sea $TEX: $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ una función dos veces derivable en todo $TEX: $\mathbb{R}$$ , tal que, $TEX: $\forall x\in\mathbb{R}$$ , $TEX: $f^{\prime\prime} (x)+f(x)=0$$ . (1,0 pto.) Considere la función $TEX: $F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ definida por $TEX: \[F(x)=f(x)-f(0)\cos (0)-f^\prime (0) \sin (x)\]$ Demuestre que $TEX: $F$$ es dos veces derivable y que $TEX: \[\forall x\in\mathbb{R}\: F^{\prime\prime}(x)+F(x)=0\]$ (1,0 pto.) Demuestre que $TEX: $\forall x\in\mathbb{R},\ (F^{\prime}(x))^2+(F(x))^2=k\in\mathbb{R}$$ , constante. Determine el valor de la constante $TEX: $k$$ . Concluya que para todo $TEX: $x\in\mathbb{R},\ f(x)=f(0)\cos (x)+f^\prime (0)\sin (x)$$ . b) Un observador está en un punto $TEX: $P$$ alejado una distancia $TEX: $d$$ de una pista. Dos corredores $TEX: $A$$ y $TEX: $B$$ parten del punto $TEX: $S$$ de la figura y corren a lo largo de la pista. El corredor $TEX: $A$$ lo hace tres veces más rápido que el corredor $TEX: $B$$ . Figura: A13S2Calc.png ( 18.47k ) Número de descargas: 0 (3,0 ptos.) Determine la función $TEX: $\theta (x)$$ indicada en la figura y determine su máximo. Justifique que es un máximo y que este máximo es global. (1,0 pto.) Estudie qué pasa con $TEX: $\theta (x)$$ cuando los corredores han recorrido una gran distancia. Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 14 2014, 01:26 PM Publicado: #15
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Cálculo Diferencial 14-1 Control 1 Semestre Otoño 2014 P1. Considere la función f definida por $TEX: \[f(x)=\begin{cases}<br />\cos x-1 & \text{si $x<0$}\\<br />ax^2+b & \text{si $0\leq x\leq1$}\\<br />2x-1 & \text{si $x>1$}<br />\end{cases}\]$ a) (3,0 ptos.) Encuentre los valores de las constantes a y b, si existen, para que f sea función continua en IR. Justifique su respuesta. b) (3,0 ptos.) Determine si f es derivable en x=0 y x=1. En caso que sea posible, calcule f'(0) y f'(1). Justifique su respuesta. P2. a) (3,0 ptos.) Sea $TEX: $f:[a,b]\to\mathbb{R}$$ una función continua. Pruebe que $TEX: $f([a,b])$$ es un intervalo cerrado en IR, es decir, $TEX: $f([a,b])=[c,d]$$ con $TEX: $c,d\in\mathbb{R}$$ . b) (3,0 ptos.) Sea $TEX: $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ una función continua. Supongamos que f(0)=f(1)=0 y f es estrictamente creciente en el intervalo $TEX: $(0,\frac{1}{4})$$ . Pruebe que para todo $TEX: $x\in (0,\frac{1}{4})$$ , existe al menos un $TEX: $y\in [0,1]$$ , con $TEX: $x\neq y$$ , tal que f(x)=f(y). P3. Consideremos la función $TEX: $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ , una función derivable en IR. Definamos la función $TEX: \[g(x)=f(xf(2x))\]$ a) (4,0 ptos.) Encuentre la derivada de g en términos de la derivada de f. b) (2,0 ptos.) Suponiendo que $TEX: $f(0)=1$$ y $TEX: $f^\prime(0)=2$$ , calcule $TEX: $g^\prime(0)$$ . Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 14 2014, 01:28 PM Publicado: #16
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Cálculo Diferencial 14-2 Control 1 Semestre Primavera 2014 P1. a) (2,0 ptos.) Demuestre que existe un único $TEX: $x_o\in (1,2)$$ que es solución de la ecuación $TEX: \[\sqrt[5]{x-1}+\sqrt{x-1}=\frac{3}{x(x+1)}\]$ b) (4,0 ptos.) Encontrar la ecuación de la recta tangente a la parábola y=1-x², en el primer cuadrante (x,y > 0), tal que ella forme con los ejes coordenados un triángulo rectángulo de la menor área posible. Calcule el área mínima. P2. a) (2,0 ptos.) Sea f(x) una función tal que f'(x) es constante $TEX: $\forall x\in\text{Dom}(f)$$ . Demuestre que la función $TEX: \[\Phi(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]$ es también constante , cualquiera sea $TEX: $a\in\text{Dom}(f)$$ . b) Considere la función f(t)=u(t)-v(t), donde las funciones $TEX: $u,v\colon [0,T]\to\mathbb{R}$$ son diferenciables en (0,T) y tales que u(0)=v(0) y u(T)=v(T). b1) (2,0 ptos) Demuestre, justificando su respuesta, que existe $TEX: $t_o\in[0,T]$$ tal que u'(t_o)=v'(t_o). b2) (2,0 ptos.) Suponga ahora que u(t) y v(t) representan las trayectorias de dos corredores, donde t es la variable tiempo. Interprete, entonces, las hipótesis en b) y el resultado obtenido en b1). P3. a) (4,0 ptos.) Estudiar completamente la función $TEX: \[f(x)=x^{2/3}(x-1)^{1/3}\]$ indicando: dominio, ceros, continuidad, asíntotas de todo tipo, diferenciabilidad, crecimiento, puntos críticos, máximos y mínimos, concavidad, puntos de inflexión, recorrido y gráfico. b) (2,0 ptos.) Considere la función $TEX: \[f(x)=\lim_{y\to 0} \frac{e^y+\sin(x)-1}{x+y},\quad x\in\mathbb{R}\]$ Determine f(0), f(x) para $TEX: $x\neq 0$$ y analice la continuidad de f en todo IR. Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

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