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Controles 1 Cálculo Diferencial e Integral, ¡Malla nueva y más allá!

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 4 2013, 09:43 PM Publicado: #1
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ok. Mismas reglas que en . Solo recordar que por favor NO HAGAN POSTS. ¡A participar! Dudas, preguntas, aclaraciones, sugerencias por MP. Mensaje modificado por TribalJazz2 el Oct 17 2014, 10:25 AM -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 4 2013, 09:48 PM Publicado: #2
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Cálculo Diferencial 07-2 Control 1 Semestre Primavera 2007 P1. a) (3,0 ptos.) El tronco de un árbol tiene una forma de tronco de cono de altura $TEX: $H>0$$ y radios superior $TEX: $r$$ e inferior $TEX: $R$$ , donde $TEX: $R>r>0$$ . De este árbol se desea tallar un cilindro de madera de base circular de modo de maximizar su volumen. Encuentre las dimensiones de este cilindro en téminos de los datos. Atención: Dependiendo de los valores de $TEX: $r$$ y $TEX: $R$$ , pueden presentarse diferentes casos. b) (3,0 ptos.) Un grupo de físicos se encuentra en la estación espacial chilena ”volantín" estudiando la órbita del cometa "UCHC2". Ellos han determinado que esta órbita es parabólica de ecuación $TEX: $y=\frac{x^2}{4}$$ , tomando el origen en "volantín" y midiendo las longitudes en Unidades Astronómicas Apropiadas (UAA). En este mismo sistema, el sol está en la posición $TEX: $S=(1,2)$$ . Se sabe que por su composición química, "UCHC2" explotaría si su distancia al sol fuera menor o igual que 1 UAA. Para saber si el cometa explotará o no, se pide realizar lo siguiente: Escriba la distancia del cometa al sol en función de $TEX: $x$$ , encuentre la menor distancia del cometa al sol y concluya si el cometa explotará o no. P2. a) (4,0 ptos.) Considere una función $TEX: $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ continua, con un mínimo global único en el punto $TEX: $\overline{x}$$ y que satisface $TEX: $\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=+\infty$$ . Si $TEX: $\{x_n\}$$ es una sucesión que tiene la propiedad $TEX: \[\forall n\in\mathbb{N},\: f(x_n)\leq f(\overline{x})+\frac{1}{n}\]$ se pide: Pruebe que si la subsucesión $TEX: $\{x_{\varphi (n)}\}$$ converge a $TEX: $l\in\mathbb{R}$$ , entonces $TEX: $l=\overline{x}$$ . Pruebe que $TEX: $\{x_n\}$$ tiene alguna subsucesión que converge a $TEX: $\overline{x}$$ . Indicación: En (ii) puede usar la parte (i) sin demostrarla. b) (2,0 ptos.) Considere la función $TEX: $f(x)=1+xe^{\frac{1}{x}}$$ . Demuestre que existe un único $TEX: $x_0\in [-2,-1]$$ tal que $TEX: $f(x_0)=0$$ . P3. a) (3,0 ptos.) Considere la función $TEX: $f(x)=\arctan \left(\frac{x+a}{1-ax}\right)$$ , donde $TEX: $a>0$$ . Indique dónde $TEX: $f$$ es continua y derivable, calcule $TEX: $f^\prime (x)$$ y pruebe que es independiente de $TEX: $a$$ . Aplique apropiadamente el TVM a la función $TEX: $g(t)=f(t)-\arctan(t)$$ para deducir que $TEX: \[\forall x\in \left.[0,\frac{1}{a}\right),\: f(x)=\arctan(x)+\arctan{a}\]$ b) (3,0 ptos.) Sea $TEX: $f$$ una función dos veces continuamente derivable en $TEX: $\mathbb{R}$$ (es decir, con segunda derivada continua) y con $TEX: $f(0)=0$$ . Se define la función $TEX: $g$$ mediante la ley $TEX: \[g(x)=\begin{cases}<br />\frac{f(x)}{x} &\text{si } x\neq 0\\<br />f^\prime (0) &\text{si } x=0<br />\end{cases}\]$ Demuestre que la función $TEX: $g$$ es continua, derivable, y con derivada continua en todo $TEX: $\mathbb{R}$$ Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. Mensaje modificado por TribalJazz2 el May 18 2014, 02:14 PM -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 4 2013, 09:58 PM Publicado: #3
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Cálculo Diferencial 08-1 Control 1 Semestre Otoño 2008 P1. a) Demuestre que si $TEX: $f:[a,b] \to \mathbb{R}$$ es una función continua, entonces $TEX: $\exists x_0 \in [a,b]$$ tal que $TEX: \[f(x_0)=\frac{f(a)+f(b)}{2}\]$ b) Sea $TEX: $g$$ una función derivable en $TEX: $\mathbb{R}$$ tal que $TEX: \[g(x)\cdot \tan x \geq 0, \quad \forall x\in\mathbb{R}\setminus \{k\pi + \frac{\pi}{2} : k \in \mathbb{Z}\}\]$ Demuestre que $TEX: $g$$ posee ceros en cada intervalo de la forma $TEX: $(k\pi-\frac{\pi}{2},k\pi+\frac{\pi}{2})$$ donde $TEX: $k\in \mathbb{Z}$$ , y por lo tanto su derivada se anula infinitas veces. c) Una función $TEX: $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$$ es derivable, con $TEX: $h^\prime$$ continua y satisface $TEX: $h^\prime (0)=-1$$ . Demuestre que existe $TEX: $\delta > 0$$ tal que $TEX: \[\forall x\in (-\delta, \delta)\setminus \{ 0 \}\quad (h(x)-h(0))\cdot x< 0\]$ P2. Una función $TEX: $f$$ tal que $TEX: $f^\prime (x) = \frac{ax+b}{(x-1)(x-4)}$$ a) Sabiendo que $TEX: $f$$ tiene una inflexión en $TEX: $x_0 = 2$$ y que $TEX: $f^\prime (x_0) = -1$$ , calcule los valores de las constantes $TEX: $a$$ y $TEX: $b$$ . b) Determine los signos de $TEX: $f\prime$$ y $TEX: $f^{\prime\prime}$$ y concluya sobre los crecimientos y convexidades de $TEX: $f$$ . Bosqueje el gráfico de $TEX: $f$$ . P3. Calcule las siguientes primitivas. a) $TEX: $\int x^3\sqrt[3]{x^2+1}\,dx$$ b) $TEX: $\int \ln(1+x^2)\, dx$$ c) $TEX: $\int \frac{1}{x^3-x}\, dx$$ Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. Mensaje modificado por TribalJazz2 el May 18 2014, 01:55 PM -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 4 2013, 10:04 PM Publicado: #4
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Cálculo Diferencial 08-2 Control 1 Semestre Primavera 2008 P1. Considere la función definida mediante la siguiente ley: $TEX: \[f(x)=\begin{cases}\frac{2x^2}{x+a} & \text{si } x<a\\<br />2x-e^{x-a} & \text{si } x\geq a\end{cases}\]$ a) (1,0 pto.) Calcule los límites laterales de $TEX: $f$$ cuando $TEX: $x\to a^{\pm}$$ en términos de $TEX: $a$$ , y pruebe que $TEX: $f$$ resulta ser continua en $TEX: $a$$ si y solamente si $TEX: $a = 1$$ . A partir de ahora considere que $TEX: $a=1$$ . b) (1,0 pto.) Establezca el dominio de $TEX: $f$$ y el conjunto de puntos en los cuales $TEX: $f$$ es continua. c) (1,0 pto.) Pruebe, usando TVI, que $TEX: $f$$ se anula en algún punto del intervalo $TEX: $[1,+\infty )$$ . d) (1,0 pto.) Determine (si existen), asíntotas (horizontales, verticales, oblicuas). e) (1,0 pto.) Calcule $TEX: $f^\prime$$ y determine puntos críticos, intervalos de crecimiento, máximos y mínimos. f) (1,0 pto.) Calcule $TEX: $f^{\prime\prime}$$ y determine convexidades, puntos de inflexión (si es que existen). P2. a) (2,0 ptos.) Sea $TEX: $f: [a,b]\to \mathbb{R}$$ una función continua en $TEX: $[a, b]$$ y dos veces derivable en $TEX: $(a, b)$$ . Pruebe que si $TEX: $f$$ alcanza su máximo global en $TEX: $x_0\in (a,b)$$ entonces, $TEX: $f^{\prime\prime} (x_0) \leq 0$$ . Ind: Use un desarrollo limitado de orden 2 de $TEX: $f$$ en torno a $TEX: $x_0$$ . b) (2,0 ptos.) Sea $TEX: $g: [0,1]\to \mathbb{R}$$ una función continua y dos veces derivable en $TEX: $(0, 1)$$ , la cual satisface $TEX: \[g^{\prime\prime} (x)= x^3 g(x)+g^2(x)g^\prime (x), \quad \forall x\in (0,1)\]$ Demuestre que si $TEX: $g(0)=g(1)=0$$ entonces $TEX: $g(x)\leq 0$$ en todo $TEX: $[0,1]$$ . Ind: Argumente por contradicción y use la parte (a) donde corresponda. c) (2,0 ptos.) Considere la función $TEX: $h(x)=-g(x)$$ , donde $TEX: $g$$ es la función de la parte (b). Verifique que $TEX: $h$$ satisface las mismas hipótesis que la función $TEX: $g$$ en (b), y use las conclusiones de (b) para deducir que $TEX: $g(x) = 0$$ en todo $TEX: $[0, 1]$$ . P3. a) (3,0 ptos.) Considere el real fijo $TEX: $a\in (0,1)$$ . Use el teorema del valor medio para demostrar que $TEX: $\forall x\in (0,\frac{\pi}{2}]$$ se cumple que $TEX: $\sin (ax) < \sin(x)$$ . Use esto para demostrar la siguiente desigualdad: $TEX: \[(\cos x)^a \leq \cos (ax) \quad \forall x \in [0,\frac{\pi}{2}]\]$ Ind: Estudie el crecimiento de la función $TEX: $f(x)=\cos(ax)-(\cos x)^a$$ b) (3,0 ptos.) Sea $TEX: $f$$ es una función infinitamente derivable en $TEX: $\mathbb{R}$$ tal que $TEX: $\|f^{(k)}(x)\| \leq 1$$ para todo $TEX: $k\in \mathbb{N}$$ y $TEX: $x\in \mathbb{R}$$ . Demuestre que si $TEX: $x_0 \in \mathbb{R}$$ es fijo, entonces para todo $TEX: $x\in [x_0-1,x_0+1]$$ se cumple que $TEX: \[\lim_{n\to\infty} \left\| f(x)-T^{n}_{f} (x-x_0)\right \| = 0\]$ donde $TEX: $T_{f}^{n}(x-x_0)$$ denota al polinomio de Taylor de $TEX: $f$$ de orden $TEX: $n$$ en torno a $TEX: $x_0$$ . Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. Mensaje modificado por TribalJazz2 el May 18 2014, 02:15 PM -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 5 2013, 06:42 AM Publicado: #5
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Cálculo Diferencial 09-1 Control 1 Semestre Otoño 2009 P1. (6,0 ptos.) Considere una caja de base cuadrada de lado $TEX: $a$$ y altura $TEX: $h$$ . Un insecto está localizado en el vértice $TEX: $A$$ y debe llegar al vértice $TEX: $B$$ caminado en línea recta desde $TEX: $A$$ hasta $TEX: $P$$ y de igual forma se desplaza desde $TEX: $P$$ hasta $TEX: $B$$ (ver figura). Determinar la posición del punto $TEX: $P$$ de manera de minimizar la distancia total recorrida. Justifique su respuesta. Figura: A09S1Calc.png ( 28.57k ) Número de descargas: 1 P2. a) Calcule las primitivas a.1) (2,0 ptos.) $TEX: $$\int (x+1)\sqrt{x+3}\, dx$$$ a.2) (2,0 ptos.) $TEX: $$\int \frac{\tan x}{1+\sec^2 (x)}\, dx$$$ b) (2,0 ptos.) Deduzca una fórmula de recurrencia para $TEX: \[I_n=\int (x+1)^n \sin (2x)\, dx\]$ P3. a) Calcule los siguientes límites: a.1) (1,0 pto.) $TEX: $$\lim_{x\to 1} \frac{\arctan \left( \frac{x^2-1}{x^2+1}\right)}{x-1}$$$ a.2) (1,0 pto.) $TEX: $$\lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^\frac{1}{x^2}$$$ b) (2,0 ptos.) Sea $TEX: $f:[a,b]\to\mathbb{R},\ 0<a<b$$ , continua en $TEX: $[a,b]$$ y diferenciable en $TEX: $(a,b)$$ . Demuestre que si $TEX: $\frac{f(a)}{a}=\frac{f(b)}{b}$$ , entonces $TEX: $\exists x_0\in (a,b)$$ tal que $TEX: \[x_0 f^\prime (x_0)=f(x_0)\]$ c) (2,0 ptos.) Considere la función $TEX: $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ definida por $TEX: \[h(x)=x^{13}+7x^3-5\]$ (1,5 ptos.) Demuestre que existe un único real $TEX: $x_0 \in [0,1]$$ tal que $TEX: $h(x_0)=0$$ . (1,5 ptos.) Pruebe que $TEX: $x_0=0$$ es un punto de inflexión de $TEX: $h$$ . Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. Mensaje modificado por TribalJazz2 el May 18 2014, 02:22 PM -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 5 2013, 06:43 AM Publicado: #6
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Cálculo Diferencial 09-2 Control 1 Semestre Primavera 2009 P1. Estudie completamente la función $TEX: $f(x)=1+xe^{\frac{1}{x}}$$ . Se pide: Dominio, continuidad y estudiar, si existen, puntos de discontinuidad reparable. (1,0 pto.) Asíntotas horizontales, verticales y oblicuas, si las hay. (1,0 pto.) Calcule $TEX: $f^\prime (x)$$ y determine irrtervalos de crecimiento, máximos y mínimos. (1,5 ptos.) Demuestre que el único cero de $TEX: $f$$ en su dominio se encuentra en $TEX: $[-2,-1]$$ . (1,0 pto.) Calcule $TEX: $f^{\prime\prime} (x)$$ y determine convexidades y puntos de inflexión si los hay. (1,0 pto.) Bosqueje el gráfico de $TEX: $f$$ e indique recorrido de $TEX: $f$$ . (0,5 ptos.) P2. Sea $TEX: $f:[a,b]\to\mathbb{R}$$ continua en $TEX: $[a,b]$$ y dos veces derivable en $TEX: $(a,b)$$ y sea $TEX: $P(x)$$ un polinomio de grado 1 (recta). Si $TEX: $P(a)=f(a)$$ y $TEX: $P(b)=f(b)$$ , se pide probar que para cada $TEX: $\bar{x}\in (a,b),\ \exists\xi \in (a,b)$$ tal que: $TEX: \[f(\bar{x})=P(\bar{x})+\frac{f^{\prime\prime} (\xi)}{2} (\bar{x}-a)(\bar{x}-b)\]$ Para esto proceda como sigue Dado $TEX: $\bar{x}\in (a,b)$$ , justifique que existe un único $TEX: $\lambda \in \mathbb{R}$$ para el cual la función $TEX: $h(x)=f(x)-P(x)-\lambda (x-a)(x-b)$$ se anula en $TEX: $\bar{x}\ (h(\bar{x})=0)$$ . (1,0 pto.) Aplique el teorema del Valor Medio para $TEX: $h(x)$$ en $TEX: $[a,\bar{x}]$$ y en $TEX: $[\bar{x},b]$$ justificando sus hipótesis. (1,5 ptos.) Utilice los resultados de (ii) y el teorema del valor medio (o Rolle) en $TEX: $h^\prime (x)$$ para probar que $TEX: $\exists \xi \in (a,b)$$ tal que $TEX: $h^{\prime\prime} (\xi)=0$$ . (1,5 ptos.) Utilice (iii) y la definición de $TEX: $h$$ para calcular el valor de $TEX: $\lambda$$ en función de $TEX: $\xi$$ y ocupe este resultado y el del punto (i). Concluya. (2,0 ptos.) P3. Sea $TEX: $f: [0,1]\to\mathbb{R}$$ continua en $TEX: $[0,1]$$ con $TEX: $f(0)<0$$ y $TEX: $f(1)>0$$ . (2,0 ptos.) Para $TEX: $a\in\mathbb{R}$$ se define $TEX: $g:[0,1]\to \mathbb{R}$$ por $TEX: $g(x)=f(x)+a(1-2x)$$ . Encuentre todos los valores de $TEX: $a\in\mathbb{R}$$ que garanticen que la función $TEX: $g(x)$$ tendrá al menos un cero en $TEX: $[0,1]$$ . Sean $TEX: $g$$ y $TEX: $h$$ funciones definidas en $TEX: $[-a,a]$$ tales que $TEX: $g$$ es derivable en $TEX: $(-a,a),\, h$$ es tres veces derivable en $TEX: $(-a,a)$$ y $TEX: \[h(0)=h^\prime (0)=0,\, g(0)\neq 0, h^{\prime\prime} (0) \neq 0\]$ Si $TEX: $f(x)=\frac{x^2 g(x)}{h(x)}$$ , calcule $TEX: $\lim_{x\to 0} f(x)$$ . (2,0 ptos.) Calcule el área del máximo rectángulo que es posible inscribir, con sus lados paralelos a los ejes coordenados,en la figura encerrada por las curvas $TEX: $3y=12-x^2;\ 6y=x^2-12$$ Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. Mensaje modificado por TribalJazz2 el Nov 9 2013, 06:47 PM -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 5 2013, 06:53 AM Publicado: #7
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Cálculo Diferencial 10-1 Control 1 Semestre Otoño 2010 P1. Estudios empíricos han permitido determinar que el modelo $TEX: $v(\rho)=v_0 e^{\beta \rho(2\alpha-\rho)}$$ , ajusta adecuadamente la velocidad $TEX: $v(\rho)\ \left(\frac{\text{km}}{\text{hora}}\right)$$ del tránsito en una carretera, en función de la densidad del tráfico $TEX: $\rho\ \left(\frac{\text{ven\'iculos}}{\text{km}}\right)$$ , en que $TEX: $v_0$$ es la "velocidad libre" y $TEX: $\alpha$$ y $TEX: $\beta$$ parámetros característicos de la carretera. a) (2,0 ptos.) Sabiendo que la función $TEX: $v(\rho)$$ alcanza su máximo cuando la densidad de tránsito es $TEX: $\rho = 100 \left( \frac{\text{veh\'iculos}}{\text{km}}\right)$$ y vale $TEX: $v_0 \sqrt{e}$$ , se pide determinar $TEX: $\alpha$$ y $TEX: $\beta$$ . b) (2,0 ptos.) Determine el valor de $TEX: $\rho^$$ que maximiza la función $TEX: $F(\rho)$$ de flujo vehicular en la carretera definida por $TEX: $F(\rho)=\rho\cdot v(\rho)\ \left(\frac{\text{veh\'iculos}}{\text{hora}}\right)$$ - Pruebe que $TEX: $F(\rho)$$ es creciente para $TEX: $\rho \leq \rho^$$ y decreciente para $TEX: $\rho \geq \rho^$$ . c) (2,0 ptos.) Si por razones reglamentarias se impone que la velocidad $TEX: $v(\rho)$$ no supere $TEX: $v_0\ \left( \frac{\text{km}}{\text{hora}}\right)$$ , determine el rango de variación de la variable $TEX: $\rho$$ que respecta dicha restricción y en este caso encuentre el nuevo máximo globo de la función $TEX: $F(\rho)$$ . Justifique. P2.* a) (1,0 pto.) Demuestre que, en general, si una función $TEX: $h$$ , derivable en $TEX: $\mathbb{R}$$ , satisface que $TEX: $\exists \lim_{x\to +\infty} h(x)=L_1$$ y $TEX: $\exists \lim_{x\to +\infty} h^\prime (x)=L_2$$ , entonces, necesariamente, $TEX: $L_2=0$$ . b) Sean $TEX: $f, g$$ funciones derivables en $TEX: $\mathbb{R}$$ tales que $TEX: $f^\prime (x)=g(x)$$ y $TEX: $g^\prime (x) = -f(x),\ \forall x\in\mathbb{R}$$ . b1) (2,0 ptos.) Demuestre que $TEX: $\forall x\in\mathbb{R},\ f^2 (x)+g^2(x)=f^2(0)+g^2(0)$$ . Indicación: Aplique el TVM a la función auxiliar $TEX: $F(x)=f^2(x)+g^2(x)$$ . b2) Demuestre que no es posible que $TEX: $f(x)>0$$ y $TEX: $g(x)>0,\ \forall x\in\mathbb{R}$$ . Para ello, suponga por contradicción, que $TEX: $f(x)>0$ y $g(x)>0,\ \forall x\in\mathbb{R}$$ y con ello estudie. (1,0 pto.) Crecimientos y acotamientos de $TEX: $f$$ y $TEX: $g$$ . (1,0 pto.) Existencia de los límites cuando $TEX: $x\to + \infty$$ de $TEX: $f, g, f^\prime, g^\prime$$ . (1,0 pto.) Use (a) para encontrar una contradicción. Indicación: Tome $TEX: $\lim_{x\to +\infty}(f^2(x)+g^2(x))$$ . P3. a) Sea $TEX: $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ definida por: $TEX: \[f(x)=\begin{cases}<br />x\sin x \sin \frac{1}{x} &\text{, si } x\neq 0\\<br />\alpha & \text{, si } x=0<br />\end{cases}\]$ (1,0 pto.) Estudie la continuidad de $TEX: $f$$ para $TEX: $x\neq 0$$ y determine el valor de $TEX: $\alpha$$ para la continuidad de $TEX: $f$$ en $TEX: $x=0$$ . (1,5 ptos.) Calcule $TEX: $f^\prime (x),\ \forall x\in\mathbb{R}$$ . (1,5 ptos.) Estudie la continuidad de $TEX: $f^\prime (x)$$ en $TEX: $\mathbb{R}$$ . b) (2,0 ptos.) Sean $TEX: $f,g: [a,b]\to [c,d]$$ continuas en $TEX: $[a,b]$$ y tales que $TEX: $f(a)=g(b)=c$$ . Demuestre que $TEX: $\exists x_0 \in [a,b]$$ , tal que $TEX: $f(x_0)=g(x_0)$$ . Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 5 2013, 06:55 AM Publicado: #8
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Pendiente. -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 5 2013, 06:56 AM Publicado: #9
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Pendiente. -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 5 2013, 06:58 AM Publicado: #10
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Cálculo Diferencial 11-2 Control 1 Semestre Primavera 2011 P1. Considere la función definida por $TEX: $f(x)=\frac{x}{\ln (x^2)}$$ . Se pide: (0,7 ptos.) Dominio, paridad, signos de $TEX: $f$$ . (0,8 ptos.) Continuidad, reparando donde corresponda. Asíntotas. (2,0 ptos.) Cáclulo de $TEX: $f^\prime (x)$$ para $TEX: $x\neq 0$$ y, si es posible, $TEX: $f^\prime (0)$$ . Analice crecimientos. Encuentre máximos y mínimos. (1,5 ptos.) Cálculo de $TEX: $f^{\prime\prime}$$ . Estudie concavidad, convexidad e inflexiones. (1,0 pto.) Gráfco aproximado, señalando valores principales y recorrido. P2. a) Sea $TEX: $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ definida por $TEX: $f(x)=a^x+b^x,\: a,b\in\mathbb{R},\ a>1,\ b>0$$ . Demuestre que si $TEX: $a\ln (a)+b\ln(b)=0$$ , entonces, $TEX: $a^x+b^x \geq a+b,\ \forall x\in\mathbb{R}$$ , es decir $TEX: $\overline{x}=1$$ es punto de mínimo global de $TEX: $f$$ . Para esto proceda como sigue: (1,0 pto.) Calcule $TEX: $f^\prime (x)$$ , demuestre, usando la propiedad, que puede escribirse como $TEX: \[f^\prime (x)=a^x\ln (a)\left[1-\left(\frac{b}{a}\right)^{x-1}\right]\]$ (2,0 ptos.) Pruebe que $TEX: $0<b<1$$ . Calcule $TEX: $f^\prime (1)$$ . Estudie crecimientos de $TEX: $f$$ . Concluya. (1,0 pto.) Demuestre que existe un único $TEX: $x_0>1$$ tal que $TEX: $a^{x_0}+b^{x_0}=2(a+b)$$ . b) (1,0 pto.) Use la regla de L'Hôpital dos veces para probar que si $TEX: $f^{\prime\prime}$$ existe $TEX: $\forall x\in (\overline{x}-\delta,\overline{x}+\delta),\ \delta>0$$ y $TEX: $f^{\prime\prime}$$ es continua en $TEX: $\overline{x}$$ , entonces $TEX: \[\lim_{h\to 0}\frac{f(\overline{x}+h)-2f(\overline{x})+f(\overline{x}-h)}{h^2}=f^{\prime\prime}(x)\]$ (1,0 pto.) Demuestre que $TEX: $\lim_{h\to 0} \frac{f(\overline{x}+h)-2f(\overline{x})+f(\overline{x}-h)}{h^2}=f^{\prime\prime} (x)$$ incluso existe si $TEX: $f^{\prime\prime}$$ existe solamente en $TEX: $\overline{x}$$ . P3. A partir de un círculo de papel de radio $TEX: $R$$ , se desea construir un cono, recortando del círculo el sector circular $TEX: $\widehat{OAB}$$ del ángulo central $TEX: $\theta$$ y juntando los trazos $TEX: $OA$$ y $TEX: $OB$$ de modo que coincidan. Se formará de esta manera un cono recto circular cuya base es un círculo de perímetro igual a la longitud del arco que queda después del corte, y su altura $TEX: $h$$ puede deducirse del esquema que se muestra. Figura: A12S2Calc.png ( 28.67k ) Número de descargas: 1 Para calcular el valor del ángulo $TEX: $\theta$$ de modo que el cono formado como se indicó tenga volumen máximo, se pide: (0,5 ptos.) Demuestre que el radio basal $TEX: $r$$ del cono es $TEX: $r=R\left(1-\frac{\theta}{2\pi}\right)$$ . (0,5 ptos.) Demuestre que la altura $TEX: $h$$ del cono es $TEX: $h=R\sqrt{1-\left(1-\frac{\theta}{2\pi}\right)^2}$$ . (0,5 ptos.) Verifique que con la sustitución $TEX: $x=1-\frac{\theta}{2\pi}$$ el volumen del cono queda $TEX: \[V(x)=\frac{1}{3}R^3x^2\sqrt{1-x^2}\]$ (4,0 ptos.) Analice la función $TEX: $V(x)$$ indicando: dominio, ceros, signos de $TEX: $V(x)$$ , la paridad, cálculo de $TEX: $V^\prime (x)$$ , crecimientos y deduzca el valor de $TEX: $x$$ que hace máximo a $TEX: $V(x)$$ . (0,5 ptos.) Calcule el volumen máximo del cono y el ángulo $TEX: $\theta$$ que lo genera. Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. Mensaje modificado por TribalJazz2 el May 17 2014, 02:39 PM -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

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