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Probar divisibilidad, Cubos, cuadrados y sumas

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Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 25 2013, 03:22 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: $ $\\<br />Sean $x,y,z\in\mathbb{N}$ tales que existe un primo $p$ con $x<y<z<p$ para el cual $x^{3}$, $y^{3}$ y $z^{3}$ pertenecen a la misma clase $\mod p$.\\<br />Pruebe que $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ es divisible por $x+y+z$.<br />$ -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Fran.tgx Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 8 2020, 09:20 PM Publicado: #2
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 26 Registrado: 27-February 18 Miembro Nº: 155.850 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: <br /><br /><br />Si $x<y<z<p$ entonces los restos son diferentes entre cada par de números en $\mod{p}$.<br /><br />Sabemos que si $$x^3 \equiv y^3 \Rightarrow (x-y) \cdot (x^2+xy+y^2) \equiv 0 \mod {p}$$ y por lo tanto $ x^2 + y^2 \equiv -xy \mod {p}$ (porque $p$ es primo y no divide a $x-y$), análogamente $x^2 + z^2 \equiv -xz \mod {p}$ y $ z^2 +y^2 \equiv -zy \mod{p}$. Además<br /><br />$$(x+y+z)^2 =x^2 +y^2+z^2 +2(xy+xz+zy) \equiv x^2 +y^2+z^2 -4(x^2 +y^2+z^2 ) \mod{p} $$<br /><br />Es decir $$(x+y+z)^2 + 3(x^2 +y^2+z^2) \equiv 0 \mod{p}$$, \qquad (1)<br /><br /><br />Ahora basta que $(x+y+z) \equiv 0 \mod{p}$ para que $x+y+z \|x^2 +y^2+z^2$ ya que en ese caso $x+y+z=p $, o bien $x+y+z=2p$ (pues $ 3<x+y+z<3p$), en ambos implican que $ 3(x^2 +y^2+z^2) \equiv 0 \mod{p}$ y como $p$ es primo mayor que 3 obtenemos $(x^2 +y^2+z^2) =p \cdot k $ para algún $k$ natural . En el primer caso estaríamos listos, ahora en el segundo caso notemos que $2p = x+y+z \equiv (x^2 +y^2+z^2) \equiv 0\mod{2}$, o sea $k$ es par y por lo tanto $x+y+z \|x^2 +y^2+z^2$. <br /><br />\vspace{1cm}<br /><br />\textbf{Última prueba}: $(x+y+z) \equiv 0 \mod{p}$.<br /><br />\vspace{0,5cm}<br /><br />Usando la identidad de Gauss obtenemos<br /><br />$$ 3q \equiv x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2 +y^2+z^2-xy-xz-zy)+3xyz \mod{p} $$ donde $q$ es el resto de $x^3$, que por enunciado es igual al de $y^3$ y $z^3$ en módulo $p$. <br />ahora $$3(q-xyz) \equiv (x+y+z) \cdot 3( x^2 +y^2+z^2) \mod{p}$$ Donde esto implica por (1) <br />$$3(q-xyz) \equiv (x+y+z) \cdot -(x+y+z)^2=-(x+y+z)^3 \mod{p}$$<br /><br />Finalmente sea $ k \equiv x^2-yz $, y $k' \equiv y^2-xz$ donde $ k \equiv x^2 +y^2+z^2 \equiv k'$, aqui es fácil deducir que $k (x-y) \equiv 0 \mod{p}$ y así $k \equiv 0$ o sea que por la definición de $k$ obtenemos $-(x+y+z)^3 \equiv 0 \mod{p}$ y como $p$ es primo entonces $p\|x+y+z$.<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />$ Mensaje modificado por Fran.tgx el Jun 9 2020, 12:45 PM

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