IV JIM Sede Valparaiso 2013, Realizada por la UTFSM Opciones

[Niklaash]

IV Jornada Interescolar de Matematicas

Primera Prueba
Jueves 24 de Octubre de 2013

Problema 1: Durante los ultimos años las naciones de Salsacia y Conservia han estado en la disputa territorial mas sangrienta desde las cruzadas. En un intento por terminar el conflicto, cada pueblo envia una comision a una reunion para discutir los terminos de un eventual acuerdo de paz.

Llegando el momento de la cena, en una gran mesa redonda, se sientan todos los miembros de las comisiones, de tal forma que el numero de personas que tiene a un compatriota al lado derecho, es igual al numero de personas que tiene a un enemigo al lado derecho. Pruebe que el numero total de individuos sentados en la mesa es divisible por 4.

Problema 2: Hallar todos los naturales, tal que el sistema tiene soluciones positivas. Justifique claramente los casos en que no existen soluciones positivas.




Problema 3: Considere una poligonal cerrada compuesta por segmentos rectos, tal que ningun par de segmentos tiene mas de un punto en comun. Determine el numero maximo de auto-intersecciones que puede tener una poligonal que cumpla tal condicion (los vertices no se consideran como auto-intersecciones).

Segunda Prueba
Viernes 25 de Octubre de 2013

Problema 4: En un curso de 20 alumnos, el profesor de matematicas prepara una guia con 20 ejercicios. Le pide a sus alumnos que se organicen en la resolucion de la guia, de tal manera que cada uno resuelva solo dos ejercicios (distintos) y que cada ejercicio sea resuelto exactamente por dos alumnos.

En la clase siguiente, el profesor afirma que sin importar el como se hayan repartido los ejercicios la clase anterior, siempre sera posible encontrar una manera de que cada alumno exponga un ejercicio en la pizarra y que los 20 ejercicios sean expuestos. Un alumno alza la mano y afirma que no siempre se puede cumplir lo que asegura el profesor. ¿Quien tiene la razon y por que?.

Problema 5: Encuentre todas las soluciones enteras de la ecuacion:

Oberservacion: Se deben encontrar las soluciones y explicar por que no hay otras.

Problema 6: Se tiene un angulo (agudo) y un punto dentro de el. Encuentre la recta que pasa por que minimice el area del triangulo formado por los dos lados del angulo y la recta.


Saludos!!


Mensaje modificado por Niklaash el Oct 22 2014, 06:33 PM

[pabl0paredes]

Una ayudita para el 2

Sabemos que , por lo tanto, sea el número de elementos



entonces

Mensaje modificado por pabl0paredes el Oct 27 2013, 10:43 PM