OIFMAT 2013 - Segunda Prueba

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OIFMAT 2013 - Segunda Prueba

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Seba² Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 18 2013, 11:56 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Moderador Mensajes: 269 Registrado: 30-August 10 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 76.269 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Segunda Prueba: Sábado 19 de octubre del 2013 Problema 1 El triángulo actuángulo ABC está inscrito en un círculo con centro O. Sean D la intersección de la bisectriz del ángulo BAC con el segmento BC y P la intersección de AB con la perpendicular a OA que pasa por D. Muestre que AC=AP. Problema 2 Se define $TEX: $\displaystyle a\circledast b=a+b-2ab$$ . Calcule el valor de: $TEX: $\displaystyle \mathcal{A=}\left ( ...\left ( \left ( \frac{1}{2014}\circledast \frac{2}{2014} \right )\circledast \frac{3}{2014} \right )... \right )\circledast \frac{2013}{2014}$$ Problema 3 ABCD es un trapecio con AB paralelo a CD. Las bisectrices exteriores de los ángulos en B y en C se intersectan en P. Las bisectrices exteriores de los ángulos en A y en D se intersectan en Q. Demuestre que la longitud de PQ es igual a la mitad del perímetro del trapecio ABCD. Problema 4 Sean $TEX: $\displaystyle a,b\in \mathbb{Z}$$ , pruebe que si la expresión $TEX: $\displaystyle a\cdot (2013)^{n}+b$$ es un cuadrado perfecto para todo n natural, entonces $TEX: $\displaystyle a$$ es nulo. Problema 5 Pruebe que la secuencia definida por: $TEX: $\displaystyle y_{n+1}=\frac{1}{2}(3y_{n}+\sqrt{5y_{n}^{2}-4})$$ con $TEX: $\displaystyle y_{0}=1$$ , $TEX: $\displaystyle n\geq 0$$ Consiste solo de enteros. _____________________________________________ El plazo de entrega de las respuestas es hasta el Miércoles a las 11:59 Si no resuelven el problema en su totalidad envien sus avances en la solución Se ruega no postear nada en este tema, dudas de enunciado por MP a alguno de los organizadores Pueden ver las reglas en este link Mensaje modificado por Seba² el Oct 19 2013, 01:03 AM -------------------- Estudiante Instituto Nacional General José Miguel Carrera IV Medio(2013) 17 años. Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax² + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos. A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !