OIFMAT 2013 - Primera prueba Opciones

[Heiricar]

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Primera Prueba: Viernes 4 de octubre del 2013

Problema 1

Encuentre todos los cuadrados perfectos de cuatro cifras tales que:

• Todas sus cifras son menores que 9
• Al aumentar en una unidad cada una de sus cifras el numero resultante es nuevamente un cuadrado perfecto

Problema 2

Diremos que un conjunto de puntos es nefasto si cumple las siguientes condiciones:

• No hay puntos colineales
• No existe ni un trío de distancias entre puntos mutuamente iguales.
• Si y son puntos en , entonces existen ,, y en tales que:

Demuestre que todos los conjuntos nefastos son infinitos.

Problema 3

Cuenta la leyenda de que en una comisaría del viejo oeste un grupo de seis bandidos intentaron sobornar al Sheriff a cargo del lugar con seis monedas de oro para que los liberara, el Sheriff era una persona muy honesta por lo que para evitar que le siguiesen insistiendo con la idea del soborno sentó a los 6 bandidos al rededor de una mesa y les propuso lo siguiente:

-"Inicialmente el líder tendrá las seis monedas de oro, en cada turno uno de ustedes puede pasar monedas a los compañeros adyacentes, pero cada vez que lo haga deberá pasar la misma cantidad de monedas a cada uno de sus vecinos. Si en algún momento logran todos tener la misma cantidad de monedas entonces los dejare en libertad."
Los bandidos aceptaron y empezaron a jugar.

Demuestre que independiente de que movimientos hagan los bandidos, estos no podrán ganar.

Problema 4

Demuestre que existe un conjunto de infinitos enteros positivos tal que la suma de un subconjunto finito arbitrario de estos nunca es un cuadrado perfecto, ¿que sucede si cambiamos la condición de no ser cuadrado perfecto por no ser potencia perfecta?

Problema 5

En un triángulo acutángulo de circuncírculo y circuncentro se traza la circunferencia que pasa por los puntos , y junto a su diámetro , luego se eligen los puntos y sobre las rectas y , respectivamente, de tal manera que el cuadrilátero sea un paralelogramo.
Probar que el punto de intersección de las rectas y pertenece a la circunferencia .

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El plazo de entrega de las respuestas es hasta el Martes a las 11:59
Si no resuelven el problema en su totalidad envien sus avances en la solución
Se ruega no postear nada en este tema, dudas de enunciado por MP a alguno de los organizadores
Pueden ver las reglas en este link

[Heiricar]

Se extiende el plazo hasta hoy en la noche para que puedan enviar sus soluciones.