Number Theory Midterm - Foro fmat.cl

Portal Matemático

¿Qué es FMAT?

Foro fmat.cl > Programa Enseñanza Universitaria > Comunidades Universitarias > Universidad Católica > Otros Ramos

Reply to this topic

Start new topic

Number Theory Midterm

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 14 2013, 03:46 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: \begin{center}<br /> \textbf{Interrogación Teoría de Números}<br /> \end{center}<br /> \begin{flushright}<br /> Santiago, 12 de septiembre de 2013<br /> <br /> Profesor: Kazim Buyükböduk<br /> <br /> \end{flushright}<br /><br /> \begin{enumerate}<br /> \item[\textbf{P1}] $\textbf{(17 pts)}$. Demuestre que la ecuación $15x^2-36=y^2$ no tiene solución en $\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}$. \end{enumerate}$ $TEX: \begin{enumerate}<br /> \item[\textbf{P2.}] $\textbf{(23 pts)}$ Encuentre un punto $(x_0,y_0)\in \{(x,y)\in \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}:2x^2+y^2=6\}$, distinto de los puntos $(1,2),(-1,-2),(1,-2),(-1,-2)$.<br /> \end{enumerate}$ $TEX: \begin{enumerate}<br />\item[\textbf{P3.}] $\textbf{(27 pts)}$ Encuentre todas las soluciones en $\mathbb{Z}^+\times \mathbb{Z}^+$ de la ecuación $x^2+2=y^3$. <br /> \end{enumerate}$ $TEX: \begin{enumerate}<br />\item[\textbf{Bonus}] $\textbf{(25 pts)}$ \begin{enumerate}<br />\item[\textbf{(1)}] Sea $p\ge 2$ un número primo, tal que $gcd(3,p-1)=1$. Demuestre que la ecuación $3x^3+4y^3+5z^3\equiv 0\pmod p$ tiene una solución módulo $p$ distinta de $(0,0,0)$.<br /><br />\item[\textbf{(2)}] Encuentre todos los enteros $0\leq n\leq 60$ tales que $n^3\equiv 1\pmod {61}$.<br /><br />\item[\textbf{(3)}] Demuestre que la ecuación $3x^3+4y^3+5z^3\equiv 0\pmod{61}$ tiene una solución módulo $61$ distinta de $(0,0,0)$. <br /> \end{enumerate}<br /> \end{enumerate}$ $TEX: \begin{enumerate}<br />\item[\textbf{Tarea}] $\textbf{(33 pts)}$ \begin{enumerate}<br />\item[\textbf{(1)}] Sea $p>2$ un primo. Encuentre todos los pares $(x,y)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ tales que $x^2+1=y^p$. <br />\item[\textbf{(2)}] Note que $\epsilon=1+\sqrt{2}$ es unidad en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$. Demuestre que el grupo de unidades positivas en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ es un grupo cíclico generado por $\epsilon$. Más aún, sea $N\in \mathbb{Z}$ libre de cuadrados. Demuestre que el grupo de unidades positivas de $\mathbb{Z}[\sqrt{N}]$ es isomorfo al grupo aditivo $\mathbb{Z}$. <br /> <br /> \end{enumerate}<br /> \end{enumerate}$ Tiempo parte presencial: 80 minutos. Mensaje modificado por Cenizas con Mostaza el Sep 23 2013, 04:22 PM -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 23 2013, 12:27 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	P1. Suponga que existe tal solucion. Escriba $TEX: $x=\frac{a}{b}, y=\frac{c}{d}$$ . Multiplique todo por $TEX: $b^2d^2$$ obteniendo $TEX: $15a^2d^2-36b^2d^2=b^2c^2$$ , escriba $TEX: $ad=u, v=bd, w=bc$$ entonces la ecuacion se transforma en $TEX: $15u^2-36v^2=w^2$$ . Probemos que esta ultima ecuacion solo tiene $TEX: $(0,0,0)$$ como solucion en los enteros. Suponga por el contrario que $TEX: $(u,v,w)$$ es una solucion distinto de $TEX: $(0,0,0)$$ que tiene el $TEX: $\|u\|$$ mas pequeño, se puede llegar facilmente a que $TEX: $3\|u,v,w$$ y por lo tanto $TEX: $(u/3,v/3,w/3)$$ tambien es solucion contradiciendo el hecho que $TEX: $\|u\|$$ era el mas pequeño. De ahi concluimos que $TEX: $u=0$$ y luego que la unica solucion es $TEX: $(0,0,0)$$ . Asi que tenemos que $TEX: $ad=bd=bc=0$$ lo cual implica $TEX: $a=c=0$$ lo cual nos lleva a $TEX: $-36=0$$ contradiccion. Mensaje modificado por xD13G0x el Sep 23 2013, 12:28 AM -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 23 2013, 04:02 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(xD13G0x @ Sep 23 2013, 12:27 AM) se puede llegar facilmente a que $TEX: $3\|u,v,w$$ y por lo tanto $TEX: $(u/3,v/3,w/3)$$ tambien es solucion contradiciendo el hecho que $TEX: $\|u\|$$ era el mas pequeño. Esa era la parte difícil del problema. ¿Cómo lo justificas? EDIT: actualicé el enunciado de la I. Mensaje modificado por Cenizas con Mostaza el Sep 23 2013, 04:29 PM -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 25 2016, 12:46 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	BONUS. (2). $TEX: $n^{3} \equiv 1 \pmod{61}$ implica que $n\equiv 1 \pmod{61}$ o que $n^{2}+n+1\equiv 0 \pmod{61}$. De la primera congruencia se sigue que $n=1$. La segunda congruencia es equivalente a $(2n+1)^{2} \equiv -3 \pmod{61}$. Puesto que, en el intervalo $[0,60]$, una de las soluciones de la congruencia $x^{2}\equiv -3\pmod{61}$ es $x_{1}=27$, la segunda solución en ese mismo intervalo la da $x_{2}=61-27=34$. Por consiguiente, la única solución de la congruencia $(2n+1)^{2}\equiv-3 \pmod{61}$ (con $n\in [0,60]$) es $n=13.$ En conclusión, los números naturales $n \in [0,60]$ que satisfacen la congruencia original son $n=1$ y $n=13$.$ (3). $TEX: La terna $(x=2,y=2,z=1)$ proporciona una solución de la ecuación dada distinta de la solución trivial.$ -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 2 2016, 10:43 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	P1. $TEX: Por \emph{reductio}. Si la ec. en cuestión tiene una solución $(x,y) \in \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}$ entonces existen números naturales $a,b,c,d$ tales que $15a^{2}d^{2} = b^{2}(36d^{2}+c^{2})$. Esto implica a su vez que $15a^{2}d^{2}$ es un número natural que es suma de dos cuadrados perfectos, lo cual es \textbf{absurdo} pues es bien sabido que un número natural $n$ es suma de dos cuadrados perfectos si y sólo si $e_{p}(n)$ es un número par para cada primo $p \equiv 3\pmod{4}$ que divide a $n$.$ OBSERVACIÓN. Con $TEX: $e_{p}(n)$$ denoto ahí al exponente al cual aparece el primo $TEX: $p$$ en la descomposición canónica de $TEX: $n$$ . -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

« Posterior · Otros Ramos · Anterior »

Reply to this topic

Start new topic

1 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (1 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))

0 miembro(s):

Modo de Ver: Estándar · Cambiar a: Lineal+ · Cambiar a: Outline

Suscribirse · Enviar por correo · Imprimir · Suscribirse a este foro

Versión Lo-Fi

Fecha y Hora actual: 4th April 2025 - 04:57 AM

Powered By IP.Board 2.2.1 © 2007 IPS, Inc.