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> aritmetica con algo de combinatoria, lvl principiante
Lichiel
mensaje Aug 15 2013, 07:45 PM
Publicado: #1


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TEX: sean m, $a_1,a_2,...a_n$ enteros positivos tales que $m=a_1+a_2...+a_n$. Probar que $\frac{m!}{a_1!a_2!...a_n!} \in \mathbb{N}$


--------------------

TEX: \begin{center} $ \aleph_0$ $<$ $|?|$ $< \aleph_1 $ \end{center}

TEX: Teorema: Si 2 personas tienen el mismo RUT entonces son la misma o existe un delito o el registro civil cometió un error, Denuncie.
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mensaje Aug 15 2013, 11:28 PM
Publicado: #2


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CITA(Lichiel @ Aug 15 2013, 07:45 PM) *
TEX: sean m, $a_1,a_2,...a_n$ enteros positivos tales que $m=a_1+a_2...+a_n$. Probar que $\frac{m!}{a_1!a_2!...a_n!} \in \mathbb{N}$

Vamos a ver:

Usaremos el siguiente lema:
TEX: \textbf{lema}:\\<br />Todo producto de $n$ numeros naturales consecutivos es divisible por $n!$

Dem del lema: no es dificil notar que para TEX: $m \in \mathbb{N}$ y TEX: $k \leq n$ el conjunto {m+1,m+2,m+3...m+n} posee al menos 1 elemento divisible por k. por lo tanto el producto de esos elementos resulta ser divisible por n!.

Llamemos TEX: $b_k=\sum_{i=1}^k a_i$, donde TEX: $b_1=a_1,\ b_n=m$ y por convencion TEX: $b_0=1$. llamemos TEX: $c_k=(b_{k-1}+1)(b_{k-1}+2)...b_k$.

Notemos que TEX: $$m!=1\cdot 2..a_1(a_1+1)....(a_1+a_2)(a_1+a_2+1)....(m-2)(m-1)m$$<br />$$=1\cdot 2...b_1(b_1+1)...(b_2-1)b_2(b_2+1)....b_n=c_1c_2...c_n$$

por lo tanto
TEX: $$M=\frac{m!}{a1!..an!}=\left(\frac{c_1}{a_1!}\right)\left(\frac{c_2}{a_2!}\right)...\left(\frac{c_n}{a_n!}\right)$$

Dado que TEX: $c_k$ es una multiplicacion de TEX: $a_k$ numeros consecutivos, por el lema anterior tenemos queTEX: $(\frac{c_k}{a_k!}$ es natural TEX: $k=1..n$
por lo tanto, M es natural.

Saludos.
Claudio.

Mensaje modificado por 2.718281828 el Aug 15 2013, 11:31 PM


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Claudio Henriquez Tapia
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Kaissa
mensaje Aug 16 2013, 12:32 AM
Publicado: #3


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CITA(2.718281828 @ Aug 15 2013, 11:28 PM) *
Vamos a ver:




¬¬

Claudio el principiante...


Si es por eso tbn pondré una solución conversada:


Supongamos que tenemos un conjunto con m elementos y lo dividimos en n subconjuntos disjuntos no necesariamente con la misma cantidad de elementos.

Es bien fácil probar con principio multiplicantivo que la cantidad de subconjuntos de m conformados por a1 elementos del primer subconjunto, a2 elementos del segundo subconjunto,... an elementos del n-ésimo conjunto está dado por la fracción exhibida, lo cual evidentemente será un número entero para todas las elecciones de a1, a2,...an de modo que a1+a2+...+an no supere evidentemente a m.

Mensaje modificado por Kaissa el Aug 16 2013, 12:53 AM


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mensaje Aug 16 2013, 01:28 AM
Publicado: #4


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CITA(Kaissa @ Aug 16 2013, 12:32 AM) *
¬¬

Claudio el principiante...
Si es por eso tbn pondré una solución conversada:
Suposlkjfñldfja


oh vamos... el "vamos a ver" es solo un dicho para empezar el tema, doy por hecho de que leiste la demostracion. no te pongas tan coquitao, es un foro matematico, si bien es cierto que hay que tener un nivel decente (relativamente alto) en lenguaje para responder propuestos, no creo que sea como una defensa de tesis ni un paper ni algo tan acartonado...

ademas, no soy tan olimpico para esto, lo hago porque me gustan estos problemas y distraerme mientras hago mi tesis o musica o lo que sea. asi que mi nivel de respuesta esta acorde con lo que se. no me odies por ser ICM.

saludos.


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Lichiel
mensaje Aug 16 2013, 01:36 PM
Publicado: #5


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ahora que veo el lema( no me quedo muy clarito la demostracion), me doy cuenta de que para probarlo se requiere demostrar primero el problema que propuse o quizas exista doble implicancia.
TEX: el producto de m enteros consecutivos es $m(m+1)(m+2)(m+3)...(m+(m-1))=\frac{(2m-1)!}{(m-1)!}$.<br />para que este numero sea divisible por m! entonces debe existir un k $\in \mathbb{N}$ tal que $\frac{(2m-1)!}{(m-1)!}=m!k$ y de eso se llega a $\frac{(2m-1)!}{m!(m-1)!}=k$. Ahora si nos damos cuenta 2m-1=m+(m-1) si el problema propuesto es cierto $k \in \mathbb{N}$


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