Referente a las cevianas de Gergonne. Opciones

[Kaissa]

Mensaje modificado por Kaissa el Jul 25 2013, 06:59 PM

[naruto2]

Usamos un lema (problema 592 en Gogeometry) donde se demuestra que MI biseca a la ceviana AX, entonces damos por sabido que M,I y N son colineales.
Sean P, Q y R las intersecciones de MN con AB, XI con AC y AI con una paralela a AB que pasa por M, respectivamente.
Sean J y K las intersecciones de PQ con BC y RX con AC, respectivamente.
Según el teorema de Desargues los triángulos APQ y RMX son perspectivos pues como se ve AR, PM y QX son concurrentes en el centro de perspectiva que es este caso es I, luego los puntos J, K y (la intersección de AP con RM) sean colineales, vemos que AP//RM por lo tanto para que se cumpla el teorema concluimos que JK//AP//RM.
Usamos ahora el teorema de Pappus sobre los puntos alineados X,I,Q y B,P,A con el fin de probar que Z, N y J son colineales, para eso tenemos que Z es la intersección de AQ con BI, N es la intersección de AX con PI y J es la intersección de BX con PQ (no es la configuración típica que estamos acostumbrados a ver). Luego como Z,N,J y también U son colineales, descubrimos que los triángulos AUZ y RMX también son perspectivos pues las intersecciones de sus respectivos lados en los puntos J, K y (la intersección de AP con RM) que como dijimos son colineales nos permite, de acuerdo a Desargues, concluir que AR, UM y XZ son concurrentes, y esto es lo que nos pedía probar el problema de Kaissa.

El problema se puede generalizar ya que en la demostración en ningún momento se considero que M y N son puntos medios o el hecho de que I sea el incentro y X su proyección sobre BC (incluso I podría estar fuera del triangulo)
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