Desigualdades de números reales

Desigualdades de números reales

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Diego_don_diego Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 16 2013, 05:23 PM Publicado: #1
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 179 Registrado: 23-July 12 Desde: Algún lugar del mundo... Miembro Nº: 109.283 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Para numeros reales a,b.c demostrar que: $\displaystyle \frac{a}{b+c}$+$\displaystyle \frac{b}{a+c}$+$\displaystyle \frac{c}{a+b}$+ $\sqrt{\displaystyle \frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}}$$\ge \displaystyle \frac{5}{2}$$ Mensaje modificado por Diego_don_diego el Jul 16 2013, 09:46 PM

MysticMan Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 16 2013, 08:27 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 550 Registrado: 24-July 11 Desde: Chillán Miembro Nº: 92.177 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	¿Qué pasa si $TEX: $$a = b = c = - 1$$$ ?. Saludos. -------------------- $TEX: $$1782^{12}+1841^{12}=1922^{12}$$$

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 3 2014, 09:21 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	CITA(MysticMan @ Jul 16 2013, 08:27 PM) ¿Qué pasa si $TEX: $$a = b = c = - 1$$$ ?. Saludos. pasa que $TEX: $$\frac{-1}{-1-1}\cdot 3+\sqrt{\frac{-1\cdot -1\cdot 3}{\left( -1 \right)^{2}\cdot 3}}=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}\ge \frac{5}{2}$$$ lo cual si cumple, aun asi concuerdo contigo en que falta una condicion puesto que si se toma la tripleta $TEX: $$\left( a,b,c \right)=\left( 2,-1,-1 \right)$$$ o $TEX: $$\left( a,b,c \right)=\left( 1,-1,-1 \right)$$$ no cumple Mensaje modificado por pprimo el Nov 3 2014, 06:10 PM

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 6 2018, 02:16 PM Publicado: #4
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	Solución en los reales positivos: $TEX: Por C-S tenemos que: <br />\begin{equation}<br /> \begin{split}<br /> \sum_{cyc}{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}} & \geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum_{cyc}a(b+c)}+\sqrt{\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}}\\<br /> & = \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)}+\sqrt{\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}}\\<br /> & = 1+\frac{a^2+b^2+c^2}{2(ab+bc+ac)}+\sqrt{\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}}<br /> \end{split}<br />\end{equation}<br /><br />De esta forma, definamos $\displaystyle t=\sqrt{\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}}$, luego, por $A\geq G$ se tiene que $$\frac{a^2+b^2+c^2}{2(ab+bc+ac)}+\sqrt{\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}}=\frac{1}{2t^2}+\frac{t}{2}+\frac{t}{2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{2t^2}\cdot \frac{t}{2}\cdot \frac{t}{2}}=\frac{3}{2}$$ Finalmente, sumando ambas desigualdades: $$ \sum_{cyc}{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}}\geq \frac{5}{2} \ \blacksquare$$<br />$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

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