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XXIV OMCS(2013)

Seba² Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 9 2013, 08:47 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Moderador Mensajes: 269 Registrado: 30-August 10 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 76.269 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	24ª OLIMPIADA DE MATEMÁTICAS DEL CONO SUR Paraguay, 2013 Primera Prueba Problema 1: Sobre una recta marcamos cuatro puntos distintos. Para cada punto marcado se calcula la suma de las distancias de dicho punto a los tres restantes, obteniéndose así cuatro valores. Decidir si es posible que estos cuatro valores sean, en algún orden: a) $TEX: $29, 29, 35, 37$$ ; b) $TEX: $28, 29, 35, 37$$ ; c) $TEX: $29, 34, 34, 37$$ . Problema 2: En un triángulo $TEX: $ABC$$ , sean $TEX: $M$$ el punto medio del lado $TEX: $BC$$ e $TEX: $I$$ la intersección de sus bisectrices. Si $TEX: $IM=IA$$ , determinar el menor valor posible para la medida del ángulo $TEX: $\displaystyle \measuredangle AIM$$ . Problema 3: Sinciclolandia es un país con $TEX: $500$$ ciudades y $TEX: $2013$$ vías de doble sentido, cada una conectando directamente dos ciudades. Dos ciudades $TEX: $A$$ y $TEX: $B$$ se llaman vecinas si existe una vía que las conecta y dos ciudades $TEX: $A$$ y $TEX: $B$$ se llaman casi-vecinas si existe una ciudad $TEX: $C$$ tal que $TEX: $A$$ es vecina de $TEX: $C$$ y $TEX: $C$$ es vecina de $TEX: $B$$ . Sabemos que en Sinciclolandia no existen dos ciudades conectadas directamente por más de una vía y no existen cuatro ciudades $TEX: $A$$ , $TEX: $B$$ , $TEX: $C$$ y $TEX: $D$$ tales que simultáneamente $TEX: $A$$ es vecina de $TEX: $B$$ , $TEX: $B$$ es vecina de $TEX: $C$$ , $TEX: $C$$ es vecina de $TEX: $D$$ y $TEX: $D$$ es vecina de $TEX: $A$$ . Demostrar que existe una ciudad que es casi-vecina de por lo menos $TEX: $57$$ ciudades. Segunda Prueba Problema 4: Sea $TEX: $M$$ el conjunto de los números enteros de $TEX: $1$$ a $TEX: $2013$$ inclusive. A cada uno de los subconjuntos de $TEX: $M$$ se le asigna uno de $TEX: $k$$ colores disponibles, con la única condición de que si dos conjuntos distintos, digamos $TEX: $A$$ y $TEX: $B$$ , cumplen que $TEX: $A \cup B = M$$ , entonces a los conjuntos $TEX: $A$$ y $TEX: $B$$ se les asignan colores distintos. ¿Cuál es el menor valor que puede tomar $TEX: $k$$ ? Problema 5: Sea $TEX: $d(k)$$ el número de divisores positivos del entero $TEX: $k$$ . Un número $TEX: $n$$ es equilibrado cuando $TEX: $d(n-1) \leq d(n) \leq d(n+1)$$ o $TEX: $d(n-1) \geq d(n) \geq d(n+1)$$ . Demostrar que existen infinitos números equilibrados. Problema 6: Sea $TEX: $ABCD$$ un cuadrilátero convexo. Sea $TEX: $n \geq 2$$ un número entero. Demostrar que existen $TEX: $n$$ triángulos de misma área con todas las siguientes propiedades: Sus interiores son disjuntos, es decir, los triángulos no se superponen; Cada triángulo está contenido en $TEX: $ABCD$$ o en su interior; La suma de las áreas de los triángulos es por lo menos $TEX: $\frac{4n}{4n+1}$$ del área del cuadrilátero $TEX: $ABCD$$ . Mensaje modificado por Seba² el Jul 9 2013, 08:49 PM -------------------- Estudiante Instituto Nacional General José Miguel Carrera IV Medio(2013) 17 años. Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax² + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos. A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !

MatíasMoreno Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 9 2013, 09:22 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 217 Registrado: 5-April 11 Desde: no se :c Miembro Nº: 86.300 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Problema 1: Sean $TEX: $A,B,C,D$$ los puntos en orden de izquierda a derecha. Sean $TEX: $AB=x$$ , $TEX: $BC=y$$ , $TEX: $CD=z$$ , y vamos a definir $TEX: $T_A,T_B,T_C,T_D$$ la suma de las distancias que se definen por enunciado, las cuales son: $TEX: $T_A=3x+2y+z$$ $TEX: $T_B=x+2y+z$$ $TEX: $T_C=x+2y+z$$ $TEX: $T_D=x+2y+3z$$ Es fácil ver que $TEX: $T_B=T_C$$ , y que $TEX: $T_A$$ y $TEX: $T_D$$ son mayores que los otros que son iguales luego los valores en b) no pueden ser, ya que todos son valores distintos, y tampoco los de c) porque los valores iguales son mayores a uno de los otros, ahora veamos los valores en a), es claro que $TEX: $x+2y+z=29$$ , ahora wlog $TEX: $3x+2y+z=37$$ y $TEX: $3z+2y+x=35$$ , tomando la segunda ecuación, tenemos que $TEX: $2x+x+2y+z=37\Rightarrow 2x+29=37\Rightarrow x=4$$ luego nos queda que $TEX: $2y+z=25$$ y $TEX: $3z+2y=31$$ despejando obtenemos $TEX: $y=11,z=3$$ como estos valores cumplen, vemos que el estado en a) es el único alcanzable $TEX: $\blacksquare $$ Saludos -------------------- Cuando eliminamos lo imposible lo que queda, por improbable que parezca...siempre será la verdad... Nada tiene sentido, pero todo tiene significado.

MatíasMoreno Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 11 2013, 12:07 AM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 217 Registrado: 5-April 11 Desde: no se :c Miembro Nº: 86.300 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Problema 2: Veamos que $TEX: $BI$$ es bisectriz del ángulo $TEX: $\angle ABC$$ , y $TEX: $AI=MI$$ entonces $TEX: $AB=BM=CM=m$$ , luego por criterio LLL, $TEX: $\triangle BAI\simeq \triangle BMI$$ (i) luego $TEX: $\angle IMB=\angle IAB$$ . Sea $TEX: $\angle BAC=2\beta, \angle ABC=2\alpha, \angle BCA=2\gamma$$ , ahora por teorema del seno en el $TEX: $\triangle ABC$$ tenemos que: $TEX: $\displaystyle \frac{sen(2\gamma)}{m}=\displaystyle \frac{sen(2\beta)}{2m}\Rightarrow 2sen(2\gamma)=sen(2\beta)$$ , ahora como la función seno está acotada entre -1, y 1, es decir $TEX: $-1\leq sen(x)\leq 1$$ , tomemos la cota por la derecha, entonces tenemos que $TEX: $sen(2\beta)\leq 1\Rightarrow 2sen(2\gamma)\leq 1\Rightarrow sen(2\gamma)\leq \displaystyle \frac{1}{2}$$ ahora como $TEX: $2\gamma \in [0,\pi]$$ entonces $TEX: $2\gamma \leq 30$$ . Ahora en el $TEX: $\triangle ABC$$ tenemos que $TEX: $2\alpha+2\beta+2\gamma=180\Rightarrow 2\alpha+2\beta=180º-2\gamma$$ . Por otro lado por (i) tenemos que $TEX: $\angle IAB=\angle BMI=\beta$$ , de esto se tiene que $TEX: $\angle AIM=2\alpha+2\beta=180-2\gamma$$ , ahora tomando la desigualdad tenemos que $TEX: $-2\gamma \ge -30\Rightarrow 180-2\gamma=\angle AIM\ge 150$$ luego el menor valor posible es 150 $TEX: $\blacksquare $$ [spolier]Edit Dando un ejemplo es ffácil ver que un triángulo rectángulo de ángulos 90-60-30 cumple la igualdad. xd[/spolier] Debo imágen, saludos Mensaje modificado por MatíasMoreno el Jul 11 2013, 12:42 AM -------------------- Cuando eliminamos lo imposible lo que queda, por improbable que parezca...siempre será la verdad... Nada tiene sentido, pero todo tiene significado.

cev Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 11 2013, 01:24 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.116 Registrado: 12-March 11 Miembro Nº: 84.732 Nacionalidad: Sexo:	P2: LLamemos $TEX: $\omega$$ a la circunscrita del $TEX: $ABC$$ y $TEX: $O$$ a su centro. Prolongamos $TEX: $OM$$ y $TEX: $AI$$ hasta encontrarse en el punto $TEX: $N$$ que tambien le pertenece a $TEX: $\omega$$ , como sabemos. La situacion $TEX: $IM=IA$$ se da cuando $TEX: $BM=BA$$ , tambien cuando $TEX: $BM=CA$$ pero, por simetria con la anterior, esta fuera del analisis. Buscar el minimo $TEX: $\angle AIM$$ es igual que determinar el max. $TEX: $\angle IAM=\varphi$$ . Llamamos $TEX: $\angle BON=\alpha$$ , prolongamos $TEX: $AM$$ hasta $TEX: $S$$ , sobre $TEX: $\omega$$ , luego $TEX: $\widehat{SC}=\alpha-2\varphi$$ . Como el triangulo $TEX: $BAM$$ es isosceles el $TEX: $\angle BAM=\angle BMA=\angle BAN+\angle NAS=\frac{\alpha}{2}+\varphi$$ . Entonces $TEX: $\frac{\widehat{AB}+\widehat{SC}}{2}=\angle BMA=\frac{\alpha}{2}+\varphi$$ $TEX: $\frac{\alpha}{2}+\varphi=\frac{\widehat{AB}+\widehat{\alpha-2\varphi}}{2}\rightarrow\widehat{AB}=4\varphi$$ Sabemos que hay una relacion directa entre arco y cuerda, si averiguames el max. de $TEX: $AB$$ tendriamos el max. de $TEX: $\widehat{AB}$$ que, por el resultado anterior, eso implicaria el max. $TEX: $\varphi$$ , que es lo que buscamos. $TEX: $AB=BM=sen\alpha$$ (en $TEX: $\omega$$ con radio=1) luego, $TEX: $\varphi_{max}=(sen\alpha)_{max}=1\rightarrow\alpha=90º$$ Cuando $TEX: $\alpha=90$$ el isosceles $TEX: $BAM$$ es un equilatero luego $TEX: $\angle BAM=\frac{\alpha}{2}+\varphi=60º\rightarrow\varphi_{max}=60-\frac{90}{2}=15º$$ Asi, minimo $TEX: $\angle AIM=150º$$ ----------------------------- Edit: $TEX: $\varphi_{max}\rightarrow(sen\alpha)_{max}$$ Mensaje modificado por cev el Jul 11 2013, 03:51 PM -------------------- >>>LG

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