tecnicas avanzadas de integracion numerica, aproximacion numerica de integral oscilatoria Opciones

[2.718281828]

hola '2.718281828',,,, dices que has trabajado la integral utilizando el programa wolfram alpha o mathematica, ese es tu aporte????, muy interesante,, pero eso lo hace cualquier persona,,,dices que me voy por las ramas, queria ser neutral despues de que el ususario Maxooon me llamo bufon fanfarron y que cacareo, y tu simplemente dices que Maxooon tiene razon,,,,respeto tu opinion,,,,en fin,,,,,,,,,,,, por que el intervalo grande preguntas, precisamente por que en un intervalo grande es donde esta el verdadero reto, el desafio de mi propuesto, si quieres hacer intervalos pequeños busca un libro de calculo basico, te vas a los temas de series de maclaurin, taylor y furier y resuelves esos, creo que esos te van a gustar mucho a ti, los intervalos son en general de 0 a 2, de 1 a 3, de 1 a 4, de 2 a 5,,,,,,esos en lo personal no me interesan a mi,,por el simple motivo de que esos los hace cualquier persona, a mi no me interesa hacer los ejercicios que hace todo el mundo,,,,si quieres puedes hacer como hacen o hacian varios usuarios aqui muy famosos por cierto, como master-c, que publicaban las preguntas de foros griegos o gringos, y luego venian a escribir aqui las respuestas o ejercicios encontrados en esos u otros foros, o que simplemente se dedican a sabotear e insultar cuando no entienden o no pueden resolver los ejercicios propuestos por mi,,,,que master-c vuele alto (segun tus palabras usuario '2.718281828' ),,yo en cambio prefiero hacer aportes y preguntas lo mas originales posibles, que sean mias, no ideas o publicaciones de otros,,,,que si quiero comparar las respuestas mias con las suyas, por supuesto que si, como yo no tengo su basta experiencia ni he terminado la universidad, ustedes si, depronto manejen formulas o teoremas que yo no,,,,eso tambien lo he dicho en varios foros internacionales,,,por ultimo, dices que me calme y que me coma una chocolatina snikers, esa no me gusta tanto, prefiero la milkyway, esa es mi favorita,,,, seguire esperando a ver que usuarios intentan solucionar o participar en mis temas, sin que me insulten y sin necesidad de sabotear mis preguntas,,,,,esperare a ver sus aportes y trabajos matematicos sobre las preguntas que yo he planteado,,,,,

att
jefferson alexander vitola

bien... cuando dije que maxooon tenia razon, me referia a los papers de respaldo... no a lo de bufon y fanfarron.. no suelo ser irrespetuoso ni denigrar al resto.

yo te entiendo que quieras ser original... pero lo que es original tambien debe tener aplicaciones, no tendria sentido inventarse un metodo numerico (respaldado obviamente) si en la practica no se usa por ejemplo. en este sentido ¿Que aplicaciones posibles tendria una integral como la que estas planteando? o bien ¿Que posibles aplicaciones tendria tu trabajo para integrales oscilatorias?

otra cosa, ¿que tiene que diga vuela alto master_c?,, para mi ha sido uno de los grandes usuarios que ha tenido el foro... sobre todo con sus integrales monstruosas y eso... ¿te molesta lo que dije solo por que el no se expreso muy correctamente y fue irrespetuoso contigo? eso podrias aclararlo.

eso

saludos

Claudio.
PD: me gustaria que me llamaras por mi nombre.. kaissa lo hace y otros por ultimo me dicen "e".

[nmg1302]

En MATLAB, con 5 terminos:

CÓDIGO

function [y,error] = oscillatory_integral(a,b)
    s = b/a;
    N = 5;
    I1 = exp(1i*b^4)-exp(1i*a^4)*s.^3;
    I2 = zeros(N,1);
    product = 1;
    for k = 1:N
        disp(b)
        product = product *(4*k-1);
        I2(k) = product/(4i*b^4)^k*(exp(1i*b^4)-exp(1i*a^4)*s^(4*k+3));
    end
    y = 1/4/b^3/1i*(I1 + sum(I2));
    error = product/4^(N+1)/b^(4*N+3)*(s^(4*N+3)-1);
end

Lo que nos da

CÓDIGO

I = 7.8505630466413723e-06
error absoluto= 6.279e-22
error relativo= 7.998e-17

con un error relativo menor al error de maquina.

Sobre Mathematica,si uno utiliza integración simbólica en ves de numérica y luego evaluas numéricamente, sí obtiene el resultado correcto.
Wolframalpha.

asi que no es un problema de Mathematica si no de que no sabes usarlo.

Mensaje modificado por nmg1302 el Mar 12 2014, 11:36 PM

[jefferson alexan...]

En MATLAB, con 5 terminos:

CÓDIGO

function [y,error] = oscillatory_integral(a,b)
    s = b/a;
    N = 5;
    I1 = exp(1i*b^4)-exp(1i*a^4)*s.^3;
    I2 = zeros(N,1);
    product = 1;
    for k = 1:N
        disp(b)
        product = product *(4*k-1);
        I2(k) = product/(4i*b^4)^k*(exp(1i*b^4)-exp(1i*a^4)*s^(4*k+3));
    end
    y = 1/4/b^3/1i*(I1 + sum(I2));
    error = product/4^(N+1)/b^(4*N+3)*(s^(4*N+3)-1);
end

Lo que nos da

CÓDIGO

I = 7.8505630466413723e-06
error absoluto= 6.279e-22
error relativo= 7.998e-17

con un error relativo menor al error de maquina.

Sobre Mathematica,si uno utiliza integración simbólica en ves de numérica y luego evaluea numéricamente, si obtiene el resultado correcto.
Wolframalpha.

asi que no es un problema de Mathematica si no de que no sabes usarlo.

hola 'nmg1302',,,,,despues de varios meses por fin lo estan intentando, sacar la integral oscilatoria,no se si lo trabajaste tu o lo pusiste en un foro griego o gringo, eso esta muy de moda,,,,,cuando tu usuario 'nmg1302' hablas de integrar muchas veces por partes, de cuantas veces estamos hablando, de 5 veces de 10 veces de 100 veces de cuantas integraciones por partes????? ,,,me gustaria saber si con tu respuesta la que esta acotada segun tu, (la que diste con las integrales y la funcion landau, no la del programa de reemplazo en mathlab) puedes hallar la respuesta numerica, con una calculadora simple (como la de windows ya que maneja varios digitos)???, ,,,,, si te pregunto otro intervalo diferente al propuesto por mi, osea por ejemplo en este tipo de intervalos,,, el intervalo de 7 a infinito, o de -5 a -infinito con tu solucion acotada ( no la del programa que reemplaza en mathlab) lo puedes resolver??? adicional a eso las simplificaciones son bastante mecanicas (parece que copias y pegas formulas como por arte de magia y de una forma muy rapida, solo de reemplazar en las formulas ya hechas en los libros, sin deducirlas u operarlas tu mismo) me gustaria saber si puedes mostrar un poco mas los pasos hechos por ti,,yo soy muy lento en esto de interpretar las simplificaciones hechas por otros,,,, ademas dices que primero uno evalua la integral en el wolfram alpha en manera simbolica y luego reemplaza los valores,eso lo dije yo al principio de la conversacion en este foro,entonces estas repitiendo lo mismo que dije hace meses sobre esta anomalia (mira donde lo dije,el tema sobre errores de wolfram alpha, matlab, derive, hay lo dije el 22 de junio 2013,,aclarando que llevo mas de 2 años antes de escribirme en este foro diciendole a todos este tipo de errores, si las versiones modernas no presentan este error, es gracias a mi, y a los numerosos correos y reclamos que he hecho, si es que ya los revisaron y los mejoraron, claro, no me consta, mis programas son descargados de internet y algunos tienen mas de 5 años de antiguedad, no se si los ultimos no tengan esa falla o error,,) ,,,,,,,eso segun tu, no es un error del programa sino mio,,,entonces la funcion,, NIntegrate,,, esta demas en el programa mathematica???,, veo que utilizaste variable compleja para resolverlo, y al final parece que esta la funcion landau en tu respuesta ,,,,,,acabe de mirar con mi metodo y me da esta respuesta
7.8505630306605134062635959591287026350352274725363157887453810004702819053634*10^(-6),,,,,,,,,,,,,,,,,y el con el wolfram alpha o mathematica con un punto flotante de 77 digitos da esto,,,,,
7.8505630306605134062635959591287026350352274725363157887453885936707984329914*10^(-6),,,,osea que me da una aproximacion mucho mas fina o mas exigente para ser exactos del orden 10^(-66) mas o menos,,yo me demoro en promedio de 1 hora a 2 horas para llegar a este aproximacion que di ,,,,,con tus procedimientos y como trabajaste el ejercicio cuanto tiempo te demoras haciendolo para llegar a tu respuesta final o tu formula ?????,,,,antes aclaro que mi respuesta final la del numero aproximado si utilice el computador para la fuerza bruta del calculo numerico unicamente, pero para hacer todo mi metodo solo utilizo lapiz , papel y usando la calculadora de windows , sin libros ni formulas especiales,, lo que hiciste lo puedes hacer sin guiarte de formulas o libros sobre series o de variable compleja simulando los mismos escenarios??? (esto con el fin de comparar lo practico de tu metodo y de la forma de obtener dicha formula, para saber si es mas simple que los mecanismos que yo uso para resolver el mismo tipo de ejercicio),,igual gracias por intentar resolver mi ejercicio,,, y mientras tanto puedes responder mis preguntas anteriores,,,,,,,,,,

A una cosa mas para ti usuario 'nmg1302' aprovechando que estas inspirado, que sabes tanto del tema de aproximacion numerica de integrales y ademas ya que tu eres un experto en el manejo de mathlab y wolfram alpha o mathematica, explicame cuanto da esta integral en tu famoso y siempre correcto programa que nunca presenta errores , mathlab, mahtematica, wolfram alpha,maple o el que quieras, (esta solo de copiar y pegar en wolfran alpha o el mathematica, ya que veo que eso les gusta mucho) la integral oscilatoria es la siguiente,,,,,,,

,,,,,,N[Integrate[Sin[Exp[x^4]], {x,2,Infinity}]],,,,,,,, la respuesta correcta de esa integral aproximada segun mis calculos y mi metodo propio es,,,,,,- 3.01795244987123683885173255401304*10^(-9) con un margen de digitos correctos alrededor de 13 mas o menos,,,,,,(recuerda con mi metodo original, yo no copio ideas ni respuestas de otros foros o de otros usuarios),,,,,,
en cambio wolfram alpha o mathematica da,,,,,,,,,,,,,,,,,,,-0.00644455,,,o esta otra ,,,,,,0.00041459366387331395,,explicame por que da esta respuesta (QUE ES INCORRECTA), si puedes????,,,,,,,,,,,,,,,



att
jefferson alexander vitola

Mensaje modificado por jefferson alexander vitola el Mar 14 2014, 02:42 PM

[osmer]

hola '2.718281828',,,, dices que has trabajado la integral utilizando el programa wolfram alpha o mathematica, ese es tu aporte????, muy interesante,, pero eso lo hace cualquier persona,,,dices que me voy por las ramas, queria ser neutral despues de que el ususario Maxooon me llamo bufon fanfarron y que cacareo, y tu simplemente dices que Maxooon tiene razon,,,,respeto tu opinion,,,,en fin,,,,,,,,,,,, por que el intervalo grande preguntas, precisamente por que en un intervalo grande es donde esta el verdadero reto, el desafio de mi propuesto, si quieres hacer intervalos pequeños busca un libro de calculo basico, te vas a los temas de series de maclaurin, taylor y furier y resuelves esos, creo que esos te van a gustar mucho a ti, los intervalos son en general de 0 a 2, de 1 a 3, de 1 a 4, de 2 a 5,,,,,,esos en lo personal no me interesan a mi,,por el simple motivo de que esos los hace cualquier persona, a mi no me interesa hacer los ejercicios que hace todo el mundo,,,,si quieres puedes hacer como hacen o hacian varios usuarios aqui muy famosos por cierto, como master-c, que publicaban las preguntas de foros griegos o gringos, y luego venian a escribir aqui las respuestas o ejercicios encontrados en esos u otros foros, o que simplemente se dedican a sabotear e insultar cuando no entienden o no pueden resolver los ejercicios propuestos por mi,,,,que master-c vuele alto (segun tus palabras usuario '2.718281828' ),,yo en cambio prefiero hacer aportes y preguntas lo mas originales posibles, que sean mias, no ideas o publicaciones de otros,,,,que si quiero comparar las respuestas mias con las suyas, por supuesto que si, como yo no tengo su basta experiencia ni he terminado la universidad, ustedes si, depronto manejen formulas o teoremas que yo no,,,,eso tambien lo he dicho en varios foros internacionales,,,por ultimo, dices que me calme y que me coma una chocolatina snikers, esa no me gusta tanto, prefiero la milkyway, esa es mi favorita,,,, seguire esperando a ver que usuarios intentan solucionar o participar en mis temas, sin que me insulten y sin necesidad de sabotear mis preguntas,,,,,esperare a ver sus aportes y trabajos matematicos sobre las preguntas que yo he planteado,,,,,

att
jefferson alexander vitola

Brother ojala regresaras al FMAT nuevamente ya que por fin pude ver la luz y dar esos resultados que ni tu texas nspire cas puede solucionar, por eso dicen que una calculadora vs el ingenio humano es dificil de comparar pero existe una manera de resolver este tipo de integrales y con muy buena aproximación, teoricamente todos lo sabemos pero cuando vemos seno(x^4) nos asusta y mas cuando tenemos de un intervalo "a hasta b". Espero me escribas.

[osmer]

hola '2.718281828',,,, dices que has trabajado la integral utilizando el programa wolfram alpha o mathematica, ese es tu aporte????, muy interesante,, pero eso lo hace cualquier persona,,,dices que me voy por las ramas, queria ser neutral despues de que el ususario Maxooon me llamo bufon fanfarron y que cacareo, y tu simplemente dices que Maxooon tiene razon,,,,respeto tu opinion,,,,en fin,,,,,,,,,,,, por que el intervalo grande preguntas, precisamente por que en un intervalo grande es donde esta el verdadero reto, el desafio de mi propuesto, si quieres hacer intervalos pequeños busca un libro de calculo basico, te vas a los temas de series de maclaurin, taylor y furier y resuelves esos, creo que esos te van a gustar mucho a ti, los intervalos son en general de 0 a 2, de 1 a 3, de 1 a 4, de 2 a 5,,,,,,esos en lo personal no me interesan a mi,,por el simple motivo de que esos los hace cualquier persona, a mi no me interesa hacer los ejercicios que hace todo el mundo,,,,si quieres puedes hacer como hacen o hacian varios usuarios aqui muy famosos por cierto, como master-c, que publicaban las preguntas de foros griegos o gringos, y luego venian a escribir aqui las respuestas o ejercicios encontrados en esos u otros foros, o que simplemente se dedican a sabotear e insultar cuando no entienden o no pueden resolver los ejercicios propuestos por mi,,,,que master-c vuele alto (segun tus palabras usuario '2.718281828' ),,yo en cambio prefiero hacer aportes y preguntas lo mas originales posibles, que sean mias, no ideas o publicaciones de otros,,,,que si quiero comparar las respuestas mias con las suyas, por supuesto que si, como yo no tengo su basta experiencia ni he terminado la universidad, ustedes si, depronto manejen formulas o teoremas que yo no,,,,eso tambien lo he dicho en varios foros internacionales,,,por ultimo, dices que me calme y que me coma una chocolatina snikers, esa no me gusta tanto, prefiero la milkyway, esa es mi favorita,,,, seguire esperando a ver que usuarios intentan solucionar o participar en mis temas, sin que me insulten y sin necesidad de sabotear mis preguntas,,,,,esperare a ver sus aportes y trabajos matematicos sobre las preguntas que yo he planteado,,,,,
att
jefferson alexander vitola

[2.718281828]

bien... creo que eso tiene sentido. a ver si marshall jefferson despierta. lo que no se es la rapidez de convergencia de plantearlo en series. me parece que seguramente es el sentido de lo que quiere el compadre.

esperemos a que diga jeferson (y de paso mejore su redaccion).

saludos.

[jefferson alexan...]

HOLA OSMER, ESPERO QUE ESTES BIEN, Y QUE EN TUS ESTUDIOS APRENDAS MAS DE LO QUE IMAGINAS,,.,.,..,POR OTRO LADO MIRANDO LA SOLUCION QUE LE DAS A LA INTEGRAL OSCILATORIA ,HAY QUE TENER CUIDADO CUANDO SE TRABAJA CON SERIES DE TAYLOR O DE MACLAURIN, ESTAS SON EXCELENTES PERO EN PUNTOS ARBITRARIOS INCLUYENDO EL CERO, PERO NO SON TAN BUENAS EN LOS INTERVALOS, (PARA ESO SON LAS SERIES DE FURIER QUE EN INTERVALOS SON PERFECTAS), MUCHO MENOS EN LOS QUE ABARCAN UNA EXTENSION TAN GRANDE COMO LOS EJERCICIOS QUE YO PLANTEO, UN MATEMATICO DE UN FORO MUY PRESTIGIOSO LLAMADO .,.,,.MARK McCLURE,.,.EL CALCULO EL NUMERO DE TERMINOS QUE TIENE QUE TENER LA SERIE PARA APROXIMARSE SOLO POR DEBAJO DE 1,EN EL MARGEN DE ERROR, EL UTILIZO LA FORMULA DE STIRLING Y DIJO QUE SE NECESITABAN ALREDEDOR DE 10^22 TERMINOS,.,,YO TE PROPONGO QUE EN CAMBIO DE USAR UNA MATEMATICA TAN COMPLEJA, SOLO A LA SERIE QUE TU ESCRIBISTE (LA QUE ESTA SIN INTEGRAR) TU LE DES VALORES CERCANOS AL INTERVALO QUE YO PROPUSE Y LA COMPARES CON LA FUNCION ORIGINAL, Y VAS A DARTE CUENTA QUE ESTA MUY LEJOS DE EL VALOR REAL, POR ESO TU RESPUESTA FINAL ESTA DESMESURADAMENTE LEJANA DE LA SOLUCION CORRECTA,.,..,ESPERO ME ENTIENDAS LO QUE TE TRATE DE DECIR Y GRACIAS POR TRABAJAR EN MI PROPUESTO,,..,,.DEJARE PLANTEADO OTRO TIPO DE EJERCICIO EN ESTE FORO, ESTA INTEGRAL OSCILA MUY RAPIDAMENTE MAS QUE LA ANTERIOR,,.,..,.,IGUAL ESTE PROPUESTO SIGUE EN PIE, ESPERANDO A QUE LOS QUE MAS SABEN DE INTEGRALES, LA SOLUCIONEN PERO CON SUS PROPIOS MEDIOS Y SUS IDEAS, Y NO COPIANDO DE OTROS FOROS,,,GRACIAS.,,.,.


ATT
JEFFERSON ALEXANDER VITOLA

[jefferson alexan...]

ummm interesante lo que propones vitola, lo mejor de este foro ,no se por que los humanos cuando se encuentran con algo nuevo tienden a ignorarlo o a criticarlo ...(en su defecto a tacharlo como loco)

aqui hay un verdadero desafio
jefferson se pasea por todos los foros que he visitado en mi vida matematica icluyendo integralsandseries buscando una respuesta a su inquietud y tratando de que alguien destruya su algoritmo ,lo mas paradójico que hay una manera muy fácil de quemar su método como el lo llama y callarlo para siempre...

espero que alguien en este foro se atreva y ahogue para siempre los sueños de grandesa de Arandia....
saludos afectuosos....

hola 'marcosreyesgarrridoeskaiss', dejaste un comentario en mi perfil el 15 de noviembre de 2014 (hasta ahorita lo vi yo) diciendo que demostraste que mi procedimiento o algoritmo es erroneo, quiero que tu resultado y demostracion lo publiques en el foro (aqui en este hilo o tema de tecnicas avanzadas de integracion numerica), quiero ver que es lo que dices de que por integrales de riemman llegaste a esa conclusion,.,.,.,.,., y segun tu proceso o algoritmo entonces cuanto dan las integrales oscilatorias que yo he resuelto????,.,.,.,.cual es su valor numerico verdadero segun tu proceso de integrales de riemman?????,.,.,.,.,.,.,.,,,.,.dejanos ver a todos los usuarios del foro cual es tu trabajo.,.,.,.,.estoy atento a que me demuestres que estos resultados numericos y aproximaciones son erroneos,.,.,.,.,.QUIERO QUE APAGES O AHOGES MI SUEÑO DE GRANDESA YA,PERO YA ES YA,,.,.(SI PUEDES??????),.,,.AJJAJAJAJAJAJAJAJAAJAJ,.,.,.,.,.,

 7451.jpg ( 309.09k ) Número de descargas:  24



att
jefferson alexander vitola

[2.718281828]

aplicale indecision_rompediscoteqa aka cinzanoo
a lo mejor ahi va tu vocacion.... ajajajajajaja....

Que sera de JAV?

[jefferson alexan...]

En MATLAB, con 5 terminos:

CÓDIGO

function [y,error] = oscillatory_integral(a,b)
    s = b/a;
    N = 5;
    I1 = exp(1i*b^4)-exp(1i*a^4)*s.^3;
    I2 = zeros(N,1);
    product = 1;
    for k = 1:N
        disp(b)
        product = product *(4*k-1);
        I2(k) = product/(4i*b^4)^k*(exp(1i*b^4)-exp(1i*a^4)*s^(4*k+3));
    end
    y = 1/4/b^3/1i*(I1 + sum(I2));
    error = product/4^(N+1)/b^(4*N+3)*(s^(4*N+3)-1);
end

Lo que nos da

CÓDIGO

I = 7.8505630466413723e-06
error absoluto= 6.279e-22
error relativo= 7.998e-17

con un error relativo menor al error de maquina.

Sobre Mathematica,si uno utiliza integración simbólica en ves de numérica y luego evaluas numéricamente, sí obtiene el resultado correcto.
Wolframalpha.

asi que no es un problema de Mathematica si no de que no sabes usarlo.

,.,.,.,.HOLA,.,.,.HOLA A TODOS MIS AMIGOS DE CHILE Y DEL RESTO DEL MUNDO,.,.,.ESPERO ESTEN MUY BIEN,.,.,.ALGUIEN SABE QUE PASO CON ESTE ''EXPERTO'' EN WOLFRAM ALPHA,,, QUE DIJO QUE YO NO SABIA USARLO,.,.,.OSEA QUE NO TENIA NINGUN ERROR EL PROGRAMA,.,.,.QUE ERA MI CULPA (SEGUN EL),., AJAJJAJAJAJAJAJ,.,.,.,USUARIO 'nmg1302' QUE PASO CON MIS PREGUNTAS?,.,.SON MUY FACILES PARA TI?,.,.ME INTERESA MUCHO LA ULTIMA PREGUNTA QUE TE HICE HACE UNOS CUANTOS AÑOS,.,LA RECUERDAS?,,,ES ESTA,,N[Integrate[Sin[Exp[x^4]], {x,2,Infinity}]],,,,,,,, la respuesta correcta de esa integral aproximada segun mis calculos y mi metodo propio es,,,SI CON MI PROPIO METODO,,.,.Y SIN AYUDA DE LOS FOROS MATEMATICOS GRIEGOS, NI DE NINGUNA PARTE DEL MUNDO,.,.,.,,- 3.01795244987123683885173255401304*10^(-9) con un margen de digitos correctos alrededor de 13 mas o menos,,,,,,(recuerda con mi metodo original, yo no copio ideas ni respuestas de otros foros o de otros usuarios),,,,,,
en cambio wolfram alpha o mathematica da,,,,,,,,,,,,,,,,,,,-0.00644455,,,o esta otra ,,,,,,0.00041459366387331395,,explicame por que da esta respuesta (QUE ES INCORRECTA),,.,.,.USUARIO 'nmg1302' si puedes????,,,.,hablando enserio, sera que me puede enseñar , tengo unas dudas en mis propuestos de integrales oscilatorias y en el manejo correcto de los programas como wolfram alpha, maple, mathlab,.,,.ayudeme,.,.por favor,.,..,.USUARIO 'nmg1302' donde le hago las consignaciones para pagarle unas clases del manejo en wolfram alpha,.,.,.enseñeme por favor,.,.,.ajjajajajaajjaj,
.,.,.,.,.,.en esta imagen por que da soluciones diferentes el mismo programa??? (uno online y otro instalado en la maquina),.a pesar que hay varios usuarios ''Expertos'' que dicen que el programa wolfram alpha no tiene errores,,.,..dar soluciones numericas diferentes a la misma pregunta como se llama???,.,.,.una especie de matematica cuantica??? ,.,.. vemos aqui como la memoria ram se dispara y los kernels se devoran la maquina con cada minuto sin importar cuanta tengas, se come el computador,.,.,.literalmente hablando,.,.,
 3737.jpg ( 470.74k ) Número de descargas:  6

ATT
JEFFERSON ALEXANDER VITOLA

Mensaje modificado por jefferson alexander vitola el Aug 28 2019, 08:38 PM