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Prueba I TRM, Factorización..

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Coto-kun Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 18 2013, 04:42 PM Publicado: #21
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 427 Registrado: 5-October 10 Miembro Nº: 78.264 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	El 2 es similar al 1. Da 2. Para ver desarrollo: $TEX: \[Problema\;\;2:\]$ $TEX: \[D=\frac{(a+1)(a-1)+(b+1)(b-1)}{7-ab}=\frac{a^{2}+b^{2}-2}{7-ab}\]$ $TEX: \[Ya\;\;que\;\;a+b=4,\;\;entonces(Elevando\;\;al\;\;cuadrado)\;\;a^{2}+b^{2}=16-2ab\]$ $TEX: \[D=\frac{a^{2}+b^{2}-2}{7-ab}=\frac{16-2ab-2}{7-ab}=\frac{2(7-ab)}{7-ab}=2\]$ --------------- El Problema 3 da 3 $TEX: \[Problema\;\;3:\]$ Para ver desarrollo $TEX: \[\frac{a-b}{c}=\frac{b+c}{a}\Rightarrow a^{2}-ab=bc+c^{2}\Rightarrow a^{2}-c^{2}=bc+ab\]$ $TEX: \[a^{2}-c^{2}=bc+ab\Rightarrow (a+c)(a-c)=b(a+c)\Rightarrow b=a-c\]$ Como a+c >1 por el enunciado no hay problema al dividir $TEX: \[M=\left ( \frac{a-2b-c}{b} \right )^{2}+\left ( \frac{a-b-2c}{c} \right )^{2}+\left ( \frac{b+c-2a}{a} \right )^{2}=\left ( \frac{b-2b}{b} \right )^{2}+\left ( \frac{b-b-c}{c} \right )^{2}+\left ( \frac{b-b-a}{a} \right )^{2}\]$ $TEX: \[M=\left ( -1 \right )^{2}+\left ( -1 \right )^{2}+\left ( -1 \right )^{2}=3\]$ --------------- El Problema 4 da 9/2 $TEX: \[Problema\;\;4:\]$ $TEX: \[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{4}{x+y}\Rightarrow \frac{x+y}{xy}=\frac{4}{x+y}\Rightarrow x^{2}+2xy+y^{2}=4xy\]$ $TEX: \[x^{2}-2xy+y^{2}=0\Rightarrow (x-y)^{2}=0\Rightarrow x=y\]$ Llevándolo al problema: $TEX: \[R=\frac{x^{2}-y^{2}}{xy}+\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}+\frac{(x+y)^{2}}{x^{2}}=0+\frac{1}{2}+4=\frac{9}{2}\]$ --------------- El Problema 5 da 1 $TEX: \[Problema\;\;5:\]$ Vamos a factorizar para que se vea mejor: $TEX: \[T=\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}}{a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}}=\frac{(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})+(c+d)(c^{2}-cd+d^{2})}{a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}}\]$ Por el enunciado: $TEX: \[a^{2}=(b+1)(a-b)\Rightarrow a^{2}=ab-b^{2}+a-b\Rightarrow a^{2}-ab+b^{2}=a-b\]$ Del mismo modo, para el c^2 se tiene que $TEX: \[c^{2}-cd+d^{2}=c-d\]$ Llevándolo al problema $TEX: \[T=\frac{(a+b)(a-b)+(c+d)(c-d)}{a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}}=\frac{a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}}{a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}}=1\]<br />$ --------------- El Problema 6 da 5 $TEX: \[Problema\;\;6:\]$ Ordenando el "A": $TEX: \[A=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{yz+xz+xy}{xyz}\]$ Por el enunciado xy=z^2, entonces: $TEX: \[A=\frac{yz+xz+xy}{z^{3}}\]$ Del enunciado nuevamente, se tiene: $TEX: \[x+y+z=5,\;\;\;\;\;\;x^{2}+y^{2}+z^{2}=15\]$ $TEX: \[x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+xz)=25\]<br />$ $TEX: \[15+2(xy+yz+xz)=25\Rightarrow xy+yz+xz=5\]$ Pero además xy=z^2 $TEX: \[z^{2}+yz+xz=5\Rightarrow z(z+y+x)=5\Rightarrow z\cdot 5=5\Rightarrow z=1\]$ Llevando ambos al A: $TEX: \[A=\frac{yz+xz+xy}{z^{3}}=\frac{5}{1}=5\]$ --------------- El Problema 7 es 4 (Como ya pusieron) $TEX: \[Problema\;\;7:\]$ De otra forma: (Suponiendo que cada denominador no es cero) Para ejemplificar: Sea: $TEX: \[X=\frac{a^{2}}{a+2b}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Y=\frac{b^{2}}{a+2b}\]$ Entonces para poder eliminar el denominador (ya que piden una división y sumar nadie lo haría xd), se tendría que buscar por ejemplo el numerador del tipo (a+2b)^2 o (a+2b)(a-2b), etc... Obviamente el más fácil de buscar es el (a+2b)(a-2b), y eso se consigue calculando: $TEX: \[X-4Y=\frac{a^{2}-4b^{2}}{a+2b}=\frac{(a+2b)(a-2b)}{a+2b}=a-2b\]$ Entonces del mismo modo se calcula E-4F(Lo pondré ya simplificado): $TEX: \[E-4F=(a-2b)+(b-2c)+(c-2d)+(d-2a)=-a-b-c-d=-(a+b+c+d)\]$ Pero a+b+c+d=0, entonces: $TEX: \[E-4F=0\;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\;\frac{E}{F}=4\]$ Mensaje modificado por Coto-kun el Jun 18 2013, 07:16 PM --------------------

Cauchy01 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 3 2014, 06:10 PM Publicado: #22
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 153 Registrado: 10-May 14 Miembro Nº: 129.353 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(jipvX @ Jun 16 2013, 06:49 PM) Nop, la prueba la dimos el viernes, pero si bien recuerdo la 1 da -2, la 4 9/2, la 5 1, la 3 da 3 y no me acuerdo XDDD me dio la 1 ajajaj ahora a hacer las otras xD

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