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> demostrar a (sub n) = 2^n+1 para todo n en los naturales, en la sucesion 3,5,9,17,33,65... etc
seba gonzalez
mensaje Jun 12 2013, 12:42 AM
Publicado: #1


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solo me interesa hacer la b, las otras dos ya las hice
me imagino que hay que ocupar la definicion recursiva que dan en el problema...
probé con induccion, pero no he podido hacerla
alguna idea??
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jorgillo81
mensaje Jun 13 2013, 12:19 PM
Publicado: #2


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Por inducción fuerte:

1) Se demuestra para n=1. Trivial.
2) Ahora supongamos que es cierta para todos los naturales desde 1 hasta k.
3) Lo demostraremos para k+1.

TEX: $a_{k+1}=3a_k-2a_{k-1}$
TEX: $a_{k+1}=3 \times \left( 2^k +1 \right) - 2 \times \left(2^{k-1}+1 \right)$
TEX: $a_{k+1}=3 \times 2^k +3 - 2 \times 2^{k-1}-2 $
TEX: $a_{k+1}=3 \times 2^k - 2^k+1 $
TEX: $a_{k+1}=2 \times 2^k +1 $
TEX: $a_{k+1}=2^{k+1} +1 $

Saludos,
Jorge
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mensaje Jun 13 2013, 02:11 PM
Publicado: #3


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una version alternativa de b).
TEX: sabemos que $a_n=3a_{n-1}-2a_{n-2}$, note que, restando $a_{n-1}$ obtenemos $$a_n-a_{n-1}=2(a_{n-1}-a_{n-2}$$<br />Llamenos $b_{n-1}=a_n-a_{n-1}$, donde $b_1=5-3=2$. luego, $b_{n-1}=2b_{n-2}=4b_{n-3}=..$ y por recurrencia $b_{n-1}=2^{n-2}*2=2^{n-1}$
TEX: finalmente reemplazando obtenemos $a_n=2^{n-1}+a_{n-1}=2^{n-1}+2^{n-2}+a_{n-2}$ y asi sucesivamente hasta llegar a $a_1=3$ donde <br />$$a_n=2^{n-1}+2^{n-2}+...+2^2+2+3$$<br />recordando que $\sum_{i=0}^n x^k=\frac{x^{k+1}-1}{x-1}$ tenemos que:<br />$$a_n=2^{n-1}+2^{n-2}+...+2^2+2+3=(2^{n-1}+2^{n-2}+...+2^2+2+1)+2=\sum_{i=1}^n 2^i +2$$<br />$$=2^n-1+2=2^n+1$$.<br />QED.

saludos

Mensaje modificado por 2.718281828 el Jun 13 2013, 03:26 PM


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Claudio Henriquez Tapia
Ingeniero Civil Matemático UTFSM y Prof. DMAT UTFSM
Candidato a Doctor en Estadística UC. Campus San Joaquin
Si todo sale bien, estaría defendiendo en Julio 2024.

[indent]
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coquitao
mensaje Jun 13 2013, 03:23 PM
Publicado: #4


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TEX: Otra vía. Si $A(x)$ es la función generatriz de la sucesión $a_n$ entonces

TEX: $A(x) = -2 + \frac{1}{1-x} + \frac{1}{1-2x}.$<br /><br />\medskip<br /><br />Por lo tanto, como $a_{n}$ es el coeficiente de $x^{n}$ en $A(x)$ se sigue que<br /><br />\medskip<br /><br />$a_{n} = 1+ 2^{n}$.


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seba gonzalez
mensaje Jun 16 2013, 06:37 PM
Publicado: #5


Principiante Matemático Destacado
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CITA(jorgillo81 @ Jun 13 2013, 12:19 PM) *
Por inducción fuerte:

1) Se demuestra para n=1. Trivial.
2) Ahora supongamos que es cierta para todos los naturales desde 1 hasta k.
3) Lo demostraremos para k+1.

TEX: $a_{k+1}=3a_k-2a_{k-1}$
TEX: $a_{k+1}=3 \times \left( 2^k +1 \right) - 2 \times \left(2^{k-1}+1 \right)$
TEX: $a_{k+1}=3 \times 2^k +3 - 2 \times 2^{k-1}-2 $
TEX: $a_{k+1}=3 \times 2^k - 2^k+1 $
TEX: $a_{k+1}=2 \times 2^k +1 $
TEX: $a_{k+1}=2^{k+1} +1 $

Saludos,
Jorge


gracias jorge
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