Propuesto Kushina Uzumaki I

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Propuesto Kushina Uzumaki I, da 500 post. a lo coquitao.

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Laðeralus Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 13 2014, 11:28 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 947 Registrado: 28-September 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 10.639 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(2.718281828 @ Jun 10 2013, 08:43 PM) Bueno. este es mi post 500 asi que queria "celebrarlo" con un propuesto (a lo coquitao) es bastante sencillo si se aplican bien algunas cosillas. $TEX: Considere la ecuacion $e^x=ax$. donde $a>0$. Demuestre las siguientes proposiciones sin usar derivadas:<br />\begin{itemize}<br />\item la ecuacion tiene solucion si $a\leq e$. si a=e, entonces posee unica solucion $x=1$<br />\item si $u$ es solucion de la ecuacion, entonces $a$ es de la forma $a=e^u/u$<br />\item si $a>e$ la ecuacion tiene exactamente 2 soluciones $u$ y $v$ tales que $0<u<1<v$<br />\end{itemize}$ saludos Hola! Si $TEX: $0<a<e$$ , la ecuación no tiene solución D: ¿No será error de tipeo? ¿talvez quierías decir $TEX: $a\geq e$$ ? Mensaje modificado por Laðeralus el Sep 13 2014, 11:32 PM

Laðeralus Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 26 2024, 01:18 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 947 Registrado: 28-September 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 10.639 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Se me había olvidado este propuesto de hace 11 años xd Lo resolví pero seguramente buscabas otro método porque lo resolví sin la guía $TEX: Como $e^x>0$ y $a>0$, necesariamente $x>0$. Luego podemos aplicar logaritmo a ambos lados:$ $TEX: $\displaystyle x=\ln(ax) \Longrightarrow ax=a\ln(ax) \Longrightarrow \frac{1}{a} = (ax)^{-1} \ln(ax) $$ $TEX: $\Longrightarrow -\frac{1}{a}= -\ln(ax) e^{ -\ln\left(ax\right) }$$ $TEX: Aplicando W-Lambert, la solución principal es$ $TEX: $\displaystyle -\ln(ax) = W(-1/a) \Longrightarrow ax = e^{-W(-1/a)} \Longrightarrow x = \frac{1}{a} e^{-W(-1/a)} $$ $TEX: Como $\displaystyle x = \frac{1}{a} e^{-W(-1/a)} $ es la solución principal, la otra es $x = \frac{1}{a}e^{-W_{-1}(-1/a)}$$ $TEX: Puesto que $\displaystyle dom(W) = [ -1/e,\infty )$, se debe cumplir que $\displaystyle -\frac{1}{a}\geq -\frac{1}{e} \Longrightarrow a\geq e$$ $TEX: Si $a=e$, ambas soluciones coinciden en una sola, y es$ $TEX: $\displaystyle x = \frac{1}{e} e^{-W(-1/e)} = \frac{1}{e} e^{-(-1)} = 1$$ Saludos,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Mensaje modificado por Laðeralus el Jan 26 2024, 07:36 AM

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