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> Polinomio mínimo de un vector
Complejo Conjuga...
mensaje May 29 2013, 04:45 AM
Publicado: #1


Principiante Matemático
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Saludos compañeros. Tengo ciertos problemas con la comprensión del enunciado de cierto ejercicio teórico. Dice lo siguiente:

Sean TEX: u un endomorfismo de un espacio vectorial E real o complejo y M su polinomio mínimo.

(a) Demostrar que si x es un elemento de E existe un polinomio mónico m tal que cualquier polinomio p tal que TEX: p(u)(x)=0 es múltiplo de m y que m divide a M. Diremos quem es el polinomio mínimo de x respecto a u. Deducir que el conjunto de tales polinomios es finito con sus elementos m1,...,mk.

(b) Con las notaciones anteriores llamemos, para cada i = 1, 2 , ... , k, TEX: Fi al conjunto de los elementos de E anulados por el endomorfismo TEX: mi (u). Demostrar que E=F1 U F2 U ... U Fp y deducir la existencia de i tal que TEX: E=Fi. Concluir que TEX: mi divide a M y por lo tanto TEX: M=mi.



Del apartado (a) he resuelto la primera parte viendo que para todo polinomio p se tiene que TEX: p=qm + r, con q,r polinomios y r de grado menor que TEX: m (particularmente r=0). Al aplicarlo a un elemento x se tiene que TEX: p(u)(x)=q(u)m(u)(x)+r(u)(x)=r(u)(x), por lo que TEX: p(u)(x)=0 \; \; sii \; \;  r(u)(x)=0 lo que implica que TEX: m divide a todo p anulador, y en particular divide a TEX: M. Lo que no entiendo es la siguiente cuestión: ¿Deducir que el conjunto de tales polinomios es finito con sus elementosm1, ..., mk? ¿quienes son tales elementos, a qué conjunto se refiere?

El siguiente apartado tampoco lo he sabido coger como consecuencia de no entender esta pregunta.

Saludos y muchas gracias a todos de antemano
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