Induccion matematica - Foro fmat.cl

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Induccion matematica, divisibilidad

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javiera.henrique... javiera.henriquez Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 27 2013, 08:51 PM Publicado: #1
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 5 Registrado: 27-May 13 Miembro Nº: 119.169 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Tengo problemas para demostrar mediante inducción problemas de divisibilidad aquí les dejo alguno para que me puedan ayudar: 1)Demostrar que n^3 + 2n es divisible por 3 2)Demostrar que 3^2n +7 es divisible por 8 3)Demostrar que x^2n-1 - y^2n-1 es divisible por (x+y)

CnstMot Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 27 2013, 09:34 PM Publicado: #2
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 182 Registrado: 18-February 13 Desde: Santiago Miembro Nº: 115.462 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Estos ejercicios son bastante estándar en inducción, haré el 1ro para que se comprenda la idea: Probemos que se cumple para n=1. En efecto: $TEX: $1^{3}+2*1= 3$$ divisible por 3. Supongamos que se cumple para n (hipótesis), es decir $TEX: $n^{3}+2n=3k$$ esto quiere decir que nuestro término es un múltiplo de 3 (por ende divisible). Probemos para n+1. Es decir debemos probar que $TEX: $(n+1)^{3}+2(n+1)$$ es divisible por 3. Como sólo tenemos la hipótesis, la vamos a trabajar un poco (perdón pero no sé poner raíces xD): $TEX: $n = (3k-2n)^{\frac{1}{3}} \hspace{0.2cm} / +1$$ $TEX: $\Rightarrow n+1 = (3k-2n)^{\frac{1}{3}}+1 \hspace{0.2cm} /()^{3}$$ $TEX: $\Rightarrow (n+1)^{3} = 3k-2n +3(3k-2n)^{\frac{2}{3}}+3(3k-2n)^{\frac{1}{3}}+1 \hspace{0.2cm}/+(2n+2)$$ $TEX: $\Rightarrow (n+1)^{3} + 2n + 2 = 3k +3(3k-2n)^{\frac{2}{3}}+3(3k-2n)^{\frac{1}{3}}+3 $$ $TEX: $= 3(k+(3k-2n)^{\frac{2}{3}}+(3k-2n)^{\frac{1}{3}}+1)$$ Luego es divisible por 3. Espero te haya servido -------------------- Standing above the crowd, He had a voice that was strong and loud and I Swallowed his facade cuz I'm so Eager to identify with Someone above the ground, Someone who seemed to feel the same, Someone prepared to lead the way, and Someone who would die for me. Will you? Will you now? Would you die for me?

Jack Sparrow Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 27 2013, 09:52 PM Publicado: #3
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 146 Registrado: 6-November 09 Desde: El Perla negra Miembro Nº: 61.590 Colegio/Liceo:	Yo creo que es dificil que alguien te diga que esto , se hace de tal manera... pues si bien es cierto que en induccion se debe hacer lo mismo, los metodos van variando o se ajustan mejor de una forma a un ejercicio que a otro. Por ejemplo aca tienes otra forma de abordar el 1 xD. $TEX: \noindent $p(1)\equiv V$ \\<br />En efecto\\<br />$1^{3}+21=3 \ mutiplo\ de\ tres$$ $TEX: \noindent Luego\ suponga\ $p(n)\equiv V$ \\<br />Entonces\ se\ quiere\ demostrar\ que\ $p(n+1)\equiv V$ \\<br />Es\ decir\ <br />$p(n)\Rightarrow p(n+1)$\ pero\\<br />$p(n+1)=(n+1)^{3}+2(n+1)$ \\<br />$p(n+1)=n^{3}+3n^{2}+3n+1+2n+2$ \\<br />$p(n+1)=n^{3}+2n+3n+3$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ () \\<br />$p(n+1)=3a+3n+3$ \\<br />$p(n+1)=3(a+n+1)$ \ mutiplo\ de\ tres<br />$ $TEX: \noindent (*) Acá se ocupa el hecho de que $p(n)\equiv V$, vale decir que $p(n)=n^{3}+2n=3a$$

Jack Sparrow Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 27 2013, 11:56 PM Publicado: #4
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 146 Registrado: 6-November 09 Desde: El Perla negra Miembro Nº: 61.590 Colegio/Liceo:	Está bien escrito $TEX: $x^{2n-1}-y^{2n-1}$ divisible por (x+y)$ ? solo para asegurarse xd...

Coto-kun Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 28 2013, 10:43 AM Publicado: #5
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 427 Registrado: 5-October 10 Miembro Nº: 78.264 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Jack Sparrow @ May 27 2013, 11:56 PM) Está bien escrito $TEX: $x^{2n-1}-y^{2n-1}$ divisible por (x+y)$ ? solo para asegurarse xd... Creo que debio ser $TEX: \[x^{2n-1}+y^{2n-1}\;\;divisible\;\;por\;\;(x+y)\]$ ya que el exponente es impar y claramante es divisible por (x+y), creo que sería así xd --------------------

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