Control 4 semestre otoño 2013

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Control 4 semestre otoño 2013, Sumatorias y numerabilidad

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Rodrigooo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 19 2013, 11:08 PM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 72 Registrado: 6-June 12 Miembro Nº: 107.063 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	¿Qué opinan? Archivo(s) Adjunto(s) c4_ma1101_2013_1.pdf ( 36.51k ) Número de descargas: 244

JerezDiego Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2013, 12:38 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 400 Registrado: 24-September 10 Desde: Santiago Miembro Nº: 77.585 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	estaba piola, la de calculo estaba mas larga xD -------------------- EDV \| Universidad de Chile - Matemática II, sección I - 2011 Mis amigos Quiero ser así cuando grande

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2013, 01:41 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P(1.a) Nuestra suma es equivalente a $TEX: $n+1+\displaystyle\sum_{j=0}^{n+3}{\binom{n+3}{j}(j-2)(-1)^j}$$ Distribuimos respecto de $TEX: $(j-2)$$ , obteniendo $TEX: $n+1 \displaystyle\sum_{j=0}^{n+3}{\binom{n+3}{j}j(-1)^j}-2\displaystyle\sum_{j=0}^{n+3}{\binom{n+3}{j}(-1)^j}$$ Donde $TEX: $\sum_{j=0}^{n+3}{\binom{n+3}{j}(-1)^j}=0$$ por Teorema del binomio. Luego, notando que $TEX: $\binom{n+3}{j}=\binom{n+2}{j-1}\frac{n+3}{j}$$ , se obtiene $TEX: \begin{eqnarray} \displaystyle\sum_{j=0}^{n+3}{\binom{n+3}{j}j(-1)^j} &=& (n+3)\sum_{j=0}^{n+3}{\binom{n+2}{j-1}(-1)^j} \\ &=& (n+3)\sum_{j=-1}^{n+2}{\binom{n+2}{j}(-1)^{j+1}}\end{eqnarray}$ Esto último por corrimiento de índice. Note que para $TEX: $j=-1$$ el primer sumando es cero. Finalmente, nuestra suma equivale a $TEX: $\displaystyle n+1-(n+3)\sum_{j=0}^{n+2}{\binom{n+2}{j}(-1)^j}=n+1$$ Pues $TEX: $\sum_{j=0}^{n+2}{\binom{n+2}{j}(-1)^j}=0$$ por Teorema del binomio. Demostrando lo pedido $TEX: $\blacksquare$$ P(1.b) $TEX: $\mathcal{S}$$ escrito como sumatoria doble es $TEX: \begin{eqnarray}S & = & \frac{\sum_{j=1}^{1}{j}}{1}+\frac{\sum_{j=1}^{2}{j}}{2}+\frac{\sum_{j=1}^{3}{j}}{3}+\ldots+\frac{\sum_{j=1}^{n}{j}}{n} \\ & = & \frac{1}{1}\sum_{j=1}^{1}{j}+\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{2}{j}+\frac{1}{3}\sum_{j=1}^{3}{j}+\ldots+\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}{j} \\ &=& \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}\sum_{j=1}^{k}{j}}\end{eqnarray}$ Luego, calcularla es sencillo pues $TEX: $\sum_{j=1}^{k}{j}=\frac{k(k+1)}{2}$$ , entonces $TEX: \begin{eqnarray}S & = & \sum_{k=1}^{n}{\frac{k(k+1)}{2k}} \\ & = & \sum_{k=1}^{n}{\frac{k}{2}+\frac{1}{2}} \\ & = & \frac{n(n+3)}{4} \end{eqnarray}$ P(2.a) Nuestro problema equivale a demostrar que $TEX: $\sum_{j=0}^{n-1}{k_0+j}$$ es divisible por $TEX: $n$$ . Veamos que dicha suma es igual a $TEX: $nk_0 + \dfrac{(n-1)n}{2}$$ , por propiedades de sumatorias y la suma conocida de los primeros $TEX: $n$$ números naturales. Pero bien, 2 no divide a $TEX: $n$$ pues $TEX: $n$$ es impar, en consecuencia divide a $TEX: $n-1$$ . Luego nuestra suma queda expresada en dos múltiplos de $TEX: $n$$ , de lo que se sigue que esta es divisible por $TEX: $n$$ . P(2.b) Por hipótesis, tenemos que el conjunto de todos los $TEX: $a\in A$$ para los cuales existe $TEX: $n\in\mathbb{N}$$ tal que $TEX: $f(a)=n$$ es numerable. Pero dado que $TEX: $f$$ es función, esto se cumple para todo $TEX: $a\in A$$ . Luego $TEX: $A$$ es numerable. Saludos. Mensaje modificado por El Geek el May 20 2013, 01:42 PM -------------------- Me voy, me jui.

JerezDiego Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2013, 02:46 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 400 Registrado: 24-September 10 Desde: Santiago Miembro Nº: 77.585 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	masterG, de gik, no de gay, de gik xDDD <3 -------------------- EDV \| Universidad de Chile - Matemática II, sección I - 2011 Mis amigos Quiero ser así cuando grande

Shine Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2013, 04:18 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.255 Registrado: 22-February 08 Miembro Nº: 15.777 Sexo:	La P1 a. estaba linda, lo demás, nada extraordinario (La P1 b. salía en un recupera pasado, de hecho...) Como dato, los mechones lloraron mucho por este control, en todo caso XD, sigo sin entender el por qué, eso si...

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2013, 10:13 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Shine @ May 20 2013, 04:18 PM) La P1 a. estaba linda, lo demás, nada extraordinario (La P1 b. salía en un recupera pasado, de hecho...) Como dato, los mechones lloraron mucho por este control, en todo caso XD, sigo sin entender el por qué, eso si... ah si si Saludos cordiales -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

Ammonite Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 28 2013, 11:17 PM Publicado: #7
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 20 Registrado: 14-September 12 Desde: Falla Liquiñe-Ofqui Miembro Nº: 111.046 Sexo:	CITA(Shine @ May 20 2013, 04:18 PM) La P1 a. estaba linda, lo demás, nada extraordinario (La P1 b. salía en un recupera pasado, de hecho...) Como dato, los mechones lloraron mucho por este control, en todo caso XD, sigo sin entender el por qué, eso si... Claro cuando alguien lleva como 10 años en la U, ve las cosas de manera distinta. -------------------- Soy el peor alumno de mi generación

Shine Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 28 2013, 11:41 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.255 Registrado: 22-February 08 Miembro Nº: 15.777 Sexo:	CITA(Ammonite @ May 29 2013, 11:17 AM) Claro cuando alguien lleva como 10 años en la U, ve las cosas de manera distinta. ah si si Saludos cordiales

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