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Control 2 Otoño 2013, Profe Felmer, Hernandez, Osses, Tapia

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Crash! Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 7 2013, 07:16 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 929 Registrado: 22-June 08 Desde: Santiago Miembro Nº: 27.979 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: $\begin{gathered}<br /> \left. {\underline {\, <br /> {{\text{Control 2}}} \,}}\! \right\| \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \left. {\underline {\, <br /> {{\text{Pregunta 1}}} \,}}\! \right\| \hfill \\<br /> {\text{(a) Resuelva completamente la siguiente ecuacion:}} \hfill \\<br /> \left( {{D^2} + 2D + 2} \right)\left( {y' + 2y} \right) = \cos \left( x \right) \hfill \\<br /> {\text{(b) Considere la ecuacion lineal con coeficientes constantes}} \hfill \\<br /> {y^{\left( n \right)}}\left( x \right) + {a_{n - 1}}{y^{\left( {n - 1} \right)}}\left( x \right) + \cdots + {a_0}y\left( x \right) = 0 \hfill \\<br /> {\text{con }}{a_i} \in \mathbb{R}{\text{, denotando H al espacio de soluciones}}{\text{, y }}p\left( \lambda \right){\text{ al polinomio caracteristico}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{Demuestre que las siguientes proposiciones son equivalentes:}} \hfill \\<br /> {\text{i}}{\text{. Todas las raices de }}p{\text{ tienen parte real negativa}}{\text{, es decir}}{\text{, si }}\lambda {\text{ es raiz de }}p{\text{ entonces }}\operatorname{Re} \left\{ \lambda \right\} < 0 \hfill \\<br /> {\text{ii}}{\text{. Toda solucion de la ecuacion tiende a cero en el infinito}}{\text{, es decir}}{\text{, }}\forall y \in H{\text{ se tiene que:}} \hfill \\<br /> \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y\left( x \right) = 0 \hfill \\<br /> {\text{Indicacion: Use una base de H}}{\text{.}} \hfill \\ <br />\end{gathered} $$ $TEX: $\begin{gathered}<br /> \left. {\underline {\, <br /> {{\text{Pregunta 2}}} \,}}\! \right\| \hfill \\<br /> \left( a \right){\text{ }}\left( {2,5{\text{ puntos}}} \right){\text{ Demuestre que }}\left\{ {{x^2},\ln \left( x \right)} \right\}{\text{ no pueden ser soluciones de una misma ecuacion }} \hfill \\<br /> {\text{diferencial de la forma:}} \hfill \\<br /> y''\left( x \right) + f\left( x \right)y'\left( x \right) + g\left( x \right)y\left( x \right) = 0 \hfill \\<br /> {\text{con }}f{\text{ y }}g{\text{ dos funciones continuas definidas en }}{\mathbb{R}_ + }. \hfill \\<br /> \left( b \right){\text{ }}\left( {3,5{\text{ puntos}}} \right){\text{ Una solucion de la ecuacion }}y'' + p\left( x \right)y' + q\left( x \right)y = 0{\text{ es }}\left( {1 + {x^2}} \right){\text{, y el wronskiano}} \hfill \\<br /> {\text{de cualquier par de soluciones linealmente independientes es constante}}{\text{. Encuentre la solucion general}} \hfill \\<br /> {\text{de la ecuacion:}} \hfill \\<br /> y'' + p\left( x \right)y' + q\left( x \right)y = 1 + x \hfill \\ <br />\end{gathered} $$ $TEX: $\begin{gathered}<br /> \left. {\underline {\, <br /> {{\text{Pregunta 3}}} \,}}\! \right\| \hfill \\<br /> \left( a \right){\text{ }}\left( {{\text{2 puntos}}} \right){\text{ Sean }}a{\text{ y }}b{\text{ reales cualesquiera}}{\text{. Determine una base del espacio de soluciones de la }} \hfill \\<br /> {\text{siguiente ecuacion definida en }}{\mathbb{R}_ + } \hfill \\<br /> {x^2}y''\left( x \right) + \left( {1 - 2a} \right)xy'\left( x \right) + \left( {{a^2} + {b^2}} \right)y\left( x \right) = 0 \hfill \\<br /> \left( b \right){\text{ }}\left( {4{\text{ puntos}}} \right){\text{ Sobre un cuerpo que cae en un fluido relativamente denso}}{\text{, aceite por ejemplo}}{\text{, actuan}} \hfill \\<br /> {\text{tres fuerzas: el peso debido a la gravedad }}g,{\text{ una fuerza de empuje }}E{\text{ que actua en sentido contraria al }} \hfill \\<br /> {\text{peso y una fuerza de resistencia }}R{\text{ que actua en sentido contraria al sentido del movimiento}}{\text{. La magnitud}} \hfill \\<br /> {\text{de la fuerza de empuje es igual al peso del fluido desplazado por el objeto}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{ Supongamos que una esfera de radio }}a{\text{ y densidad }}\rho {\text{ cae libremente en un fluido viscoso de densidad }}{\rho _0} \hfill \\<br /> {\text{y coeficiente de viscosidad }}\mu {\text{. En estas condiciones la fuerza de resistencia esta dada por la Ley de Stokes:}} \hfill \\<br /> R = 6\pi \mu av,{\text{ donde }}v{\text{ es la velocidad de la esfera}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{ Plantee la EDO de orden 2 que rige el movimiento de la esfera y determine la velocidad limite que}} \hfill \\<br /> {\text{alcanza en funcion de los parametros del problema}}{\text{. Explique su respuesta}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{Recuerde que si }}a{\text{ es el radio de la esfera}}{\text{, entonces su volumen es }}\frac{4}{3}\pi {a^3} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \left. {\underline {\, <br /> {{\text{Tiempo: 3 horas}}{\text{.}}} \,}}\! \right\| \hfill \\ <br />\end{gathered} $$ -------------------- Ex-Electrico Usach 2008 Mechón Injenieria 2009 Tengo Sed.