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Integrales Gaussianas, Generalización

Opciones

master_c	May 8 2013, 04:38 PM Publicado: #12
Invitado	CITA(2.718281828 @ May 8 2013, 02:46 PM) otra posible demostracion es usar la funcion $TEX: $f(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx-ax^2}dx$, $t \in \mathbb{R}$$ . ¿Cual es la gracia de la funcion?. Es sencillo, pues al derivar* la funcion con respecto a $TEX: $t$$ en $t=0$ tendriamos las integrales que pedias resolver. por ejemplo: $TEX: $$f'(t)=\int_{-\infty}^{\infty}xe^{tx-ax^2}dx$$<br />$$f'(0)=\int_{-\infty}^{\infty}xe^{-ax^2}$$$ y entonces para la n-esima derivada en t=0. $TEX: $$f^{(n)}(0)=\int_{-\infty}^{\infty}x^ne^{-ax^2}$$$ Lo bueno: es que la funcion f(t) es explicita y no pasas por gamma. Lo malo** es que tendrias que calcular derivada por derivada o bien familiarizarte con los polinomios de hermite. La funcion es bastante facil de hallar y se parte completando cuadrados: $TEX: ]$$f(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx-ax^2}dx=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x^2-\frac ta x+\frac {t^2}{4a^2}+\frac {t^2}{4a^2}})dx$$$ $TEX: $$=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x-\frac{t}{2a})^2+\frac {t^2}{4a}}dx=e^{\frac {t^2}{4a}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x-\frac{t}{2a})^2}=e^{\frac {t^2}{4a}}\sqrt{\frac {\pi}a}$$$ es otra opcion... pero un poco engorrosa creo. = bajo el signo de la integral = es subjetivo. no creo que sea algo tan engorroso (si tegusta derivar ) $TEX: $$<br />f^{\left( 1 \right)} \left( t \right) = \sqrt {\frac{\pi }<br />{a}} e^{\frac{{t^2 }}<br />{{4a}}} \cdot \frac{2}<br />{{4a}}t = \frac{1}<br />{{2a}}\sqrt {\frac{\pi }<br />{a}} \cdot e^{\frac{{t^2 }}<br />{{4a}}} t \Rightarrow f^{\left( 1 \right)} \left( 0 \right) = 0<br />$$$ $TEX: $$<br />f^{\left( 2 \right)} \left( t \right) = \frac{1}<br />{{2a}}\sqrt {\frac{\pi }<br />{a}} \left( {e^{\frac{{t^2 }}<br />{{4a}}} + \frac{{t^2 }}<br />{{2a}}e^{\frac{{t^2 }}<br />{{4a}}} } \right) = \frac{1}<br />{{\left( {2a} \right)^2 }}\sqrt {\frac{\pi }<br />{a}} \cdot \left( {2a + t^2 } \right)e^{\frac{{t^2 }}<br />{{4a}}} \Rightarrow f^{\left( 2 \right)} \left( 0 \right) = \frac{1}<br />{{2a}}\sqrt {\frac{\pi }<br />{a}} <br />$$$ $TEX: $$<br />f^{\left( 3 \right)} \left( t \right) = \frac{1}<br />{{\left( {2a} \right)^2 }}\sqrt {\frac{\pi }<br />{a}} \left( {2te^{\frac{{t^2 }}<br />{{4a}}} + \frac{t}<br />{{2a}}\left( {2a + t^2 } \right)e^{\frac{{t^2 }}<br />{{4a}}} } \right) = \frac{1}<br />{{\left( {2a} \right)^3 }}\sqrt {\frac{\pi }<br />{a}} \left( {6a + t^2 } \right)te^{\frac{{t^2 }}<br />{{4a}}} \Rightarrow f^{\left( 3 \right)} \left( 0 \right) = 0<br />$$$ $TEX: $$<br />f^{\left( 4 \right)} \left( t \right) = \frac{1}<br />{{\left( {2a} \right)^4 }}\sqrt {\frac{\pi }<br />{a}} \left( {12a^2 + 12at^2 + t^4 } \right)e^{\frac{{t^2 }}<br />{{4a}}} \Rightarrow f^{\left( 4 \right)} \left( 0 \right) = \frac{{1 \cdot 3}}<br />{{2^2 a^2 }}\sqrt {\frac{\pi }<br />{a}} <br />$$$ $TEX: $$<br />f^{\left( 5 \right)} \left( t \right) = \frac{1}<br />{{\left( {2a} \right)^5 }}\sqrt {\frac{\pi }<br />{a}} \left( {60a^2 + 20at^2 + t^4 } \right)te^{\frac{{t^2 }}<br />{{4a}}} \Rightarrow f^{\left( 5 \right)} \left( 0 \right) = 0<br />$$$ $TEX: $$<br />f^{\left( 6 \right)} \left( t \right) = \frac{1}<br />{{\left( {2a} \right)^6 }}\sqrt {\frac{\pi }<br />{a}} \left( {120a^3 + 180a^2 t^2 + 30at^4 + t^6 } \right)e^{\frac{{t^2 }}<br />{{4a}}} \Rightarrow f^{\left( 6 \right)} \left( 0 \right) = \frac{{15}}<br />{{8a^3 }}\sqrt {\frac{\pi }<br />{a}} = \frac{{1 \cdot 3 \cdot 5}}<br />{{2^3 a^3 }}\sqrt {\frac{\pi }<br />{a}} <br />$$$ $TEX: $$<br />f^{\left( 7 \right)} \left( t \right) = \frac{1}<br />{{\left( {2a} \right)^7 }}\sqrt {\frac{\pi }<br />{a}} \left( {840a^3 + 420a^2 t^2 + 420at^4 + t^6 } \right)te^{\frac{{t^2 }}<br />{{4a}}} \Rightarrow f^{\left( 7 \right)} \left( 0 \right) = 0<br />$$$ $TEX: $$<br />f^{\left( 8 \right)} \left( t \right) = \frac{1}<br />{{\left( {2a} \right)^8 }}\sqrt {\frac{\pi }<br />{a}} \left( {1680a^4 + 3360a^3 t^2 + 4620a^2 t^4 + 434at^6 + t^8 } \right)e^{\frac{{t^2 }}<br />{{4a}}} <br />$$$ $TEX: $$<br /> \Rightarrow f^{\left( 8 \right)} \left( 0 \right) = \frac{{105}}<br />{{2^4 a^4 }}\sqrt {\frac{\pi }<br />{a}} = \frac{{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}}<br />{{2^4 a^4 }}\sqrt {\frac{\pi }<br />{a}} <br />$$$ si te gusta induccion podrias probar facilmente lo que te puse anteriormente, se va formando el producto de los numeros impares en el numerador (cuya cantidad de factores es la mitad del numero de derivaciones) y en el denominador solo es una potencia igual a la mitad del numero par del numero derivaciones en base (2a) Mensaje modificado por master_c* el May 8 2013, 04:42 PM

master_c	May 8 2013, 08:37 PM Publicado: #13
Invitado	por si no estas familiarizado con el doble factorial, es bastante simple $TEX: $$<br />\left( {2k - 1} \right)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot \left( {2k - 3} \right)\left( {2k - 1} \right) = \frac{{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot \left( {2k - 1} \right) \cdot 2k}}<br />{{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot \left( {2k - 2} \right) \cdot 2k}} = \frac{1}<br />{{2^k }} \cdot \frac{{\left( {2k} \right)!}}<br />{{k!}}<br />$$$ saludos

master_c	May 12 2013, 12:30 PM Publicado: #14
Invitado	un viejo propuesto muy similar http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=69862

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