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> Integrales Gaussianas, Generalización
Maxooon
mensaje May 2 2013, 10:40 PM
Publicado: #1


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Hola que tal a todos..

Para los amantes de las integrales... cómo resolver esta integral??

Integral de x^n * exp(-ax^2) ... de x=-inf --> x=+inf

Donde n es natural . //

---

Para n impar la integral vale 0.

Para n par me compliqué. La pude obtener para x^2, pero ya en potencias mayores no se me ocurre algún método.
Estoy en general ocupando integrales dobles con Fubbini, lo que me sirvió para x^2 usando coordenadas polares.

¿Cómo hacer para otros n pares?

Cualquier ayuda, sugerencia, o HINT se agradece wink.gif

PD: Sorry por la falta de Latex... andaba corto de tiempo

Mensaje modificado por Maxooon el May 2 2013, 10:40 PM
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gamby
mensaje May 2 2013, 11:23 PM
Publicado: #2


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mensaje May 3 2013, 08:20 AM
Publicado: #3


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CITA(Maxooon @ May 2 2013, 10:40 PM) *
Hola que tal a todos..

Para los amantes de las integrales... cómo resolver esta integral??

Integral de x^n * exp(-ax^2) ... de x=-inf --> x=+inf

Donde n es natural . //

---

Para n impar la integral vale 0.

Para n par me compliqué. La pude obtener para x^2, pero ya en potencias mayores no se me ocurre algún método.
Estoy en general ocupando integrales dobles con Fubbini, lo que me sirvió para x^2 usando coordenadas polares.

¿Cómo hacer para otros n pares?

Cualquier ayuda, sugerencia, o HINT se agradece wink.gif

PD: Sorry por la falta de Latex... andaba corto de tiempo


loco, puedes tambien usar este hecho. TEX: $F=e^{-x^2}$, $F'=-2xF$ $F''=(4x^2-1)F$ que a todo esto esta intimamente ligado con polinomios de hermite. (de hecho es la version "fisica" de eso)


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Claudio Henriquez Tapia
Ingeniero Civil Matemático UTFSM y Prof. DMAT UTFSM
Candidato a Doctor en Estadística UC. Campus San Joaquin
Si todo sale bien, estaría defendiendo en Julio 2024.

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master_c
mensaje May 7 2013, 08:06 PM
Publicado: #4





Invitado
CITA(Maxooon @ May 2 2013, 10:40 PM) *
Hola que tal a todos..

Para los amantes de las integrales... cómo resolver esta integral??

Integral de x^n * exp(-ax^2) ... de x=-inf --> x=+inf

Donde n es natural . //

---

Para n impar la integral vale 0.

Para n par me compliqué. La pude obtener para x^2, pero ya en potencias mayores no se me ocurre algún método.
Estoy en general ocupando integrales dobles con Fubbini, lo que me sirvió para x^2 usando coordenadas polares.

¿Cómo hacer para otros n pares?

Cualquier ayuda, sugerencia, o HINT se agradece wink.gif

PD: Sorry por la falta de Latex... andaba corto de tiempo


Si TEX: $$a > 0 \wedge n \in {\Bbb N}$$
TEX: $$<br />F\left( {a,n} \right) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x^n e^{ - ax^2 } dx} = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x^n e^{ - \left( {\sqrt a x} \right)^2 } dx} \underbrace = _{y = \sqrt a x}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\left( {\frac{y}<br />{{\sqrt a }}} \right)^n e^{ - y^2 } \frac{{dy}}<br />{{\sqrt a }}} = \frac{1}<br />{{a^{\frac{{n + 1}}<br />{2}} }}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {y^n e^{ - y^2 } dy} <br />$$
TEX: $$<br /> = \frac{1}<br />{{a^{\frac{{n + 1}}<br />{2}} }}\left( {\left( { - 1} \right)^n \int\limits_0^{ + \infty } {y^n e^{ - y^2 } dy} + \int\limits_0^{ + \infty } {y^n e^{ - y^2 } dy} } \right) = \frac{{\left( { - 1} \right)^n + 1}}<br />{{a^{\frac{{n + 1}}<br />{2}} }} \cdot \int\limits_0^{ + \infty } {y^n e^{ - y^2 } dy} \underbrace = _{y = \sqrt u }\frac{{\left( { - 1} \right)^n + 1}}<br />{{2a^{\frac{{n + 1}}<br />{2}} }} \cdot \int\limits_0^{ + \infty } {\left( {\sqrt u } \right)^n e^{ - u} \frac{{du}}<br />{{\sqrt u }}} <br />$$
TEX: $$<br /> = \frac{{\left( { - 1} \right)^n + 1}}<br />{{2a^{\frac{{n + 1}}<br />{2}} }} \cdot \int\limits_0^{ + \infty } {u^{\left( {\frac{{n - 1}}<br />{2} + 1} \right) - 1} e^{ - u} du} = \frac{{\left( { - 1} \right)^n + 1}}<br />{{2a^{\frac{{n + 1}}<br />{2}} }} \cdot \Gamma \left( {\frac{{n - 1}}<br />{2} + 1} \right) = \frac{{\left( { - 1} \right)^n + 1}}<br />{{2a^{\frac{{n + 1}}<br />{2}} }} \cdot \Gamma \left( {\frac{{n + 1}}<br />{2}} \right)<br />$$

entonces
para n impares
TEX: $$<br />F\left( {a,2k + 1} \right) = \frac{{\left( { - 1} \right)^{2k + 1} + 1}}<br />{{2a^{\frac{{2k + 1 + 1}}<br />{2}} }} \cdot \Gamma \left( {\frac{{2k + 1 + 1}}<br />{2}} \right) = 0<br />$$

para n pares
TEX: $$<br />F\left( {a,2k} \right) = \frac{{\left( { - 1} \right)^{2k} + 1}}<br />{{2a^{\frac{{2k + 1}}<br />{2}} }} \cdot \Gamma \left( {\frac{{2k + 1}}<br />{2}} \right) = \frac{{\Gamma \left( {\frac{{2k + 1}}<br />{2}} \right)}}<br />{{a^{\frac{{2k + 1}}<br />{2}} }} = \frac{{\Gamma \left( {\frac{{2k + 1}}<br />{2}} \right)}}<br />{{a^{k + \frac{1}<br />{2}} }} = \frac{{\Gamma \left( {\frac{{2k + 1}}<br />{2}} \right)}}<br />{{a^k \sqrt a }}<br />$$
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mensaje May 7 2013, 08:27 PM
Publicado: #5


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CITA(master_c @ May 7 2013, 08:06 PM) *
Si TEX: $$a > 0 \wedge n \in {\Bbb N}$$
TEX: $$<br />F\left( {a,n} \right) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x^n e^{ - ax^2 } dx} = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x^n e^{ - \left( {\sqrt a x} \right)^2 } dx} \underbrace = _{y = \sqrt a x}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\left( {\frac{y}<br />{{\sqrt a }}} \right)^n e^{ - y^2 } \frac{{dy}}<br />{{\sqrt a }}} = \frac{1}<br />{{a^{\frac{{n + 1}}<br />{2}} }}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {y^n e^{ - y^2 } dy} <br />$$
TEX: $$<br /> = \frac{1}<br />{{a^{\frac{{n + 1}}<br />{2}} }}\left( {\left( { - 1} \right)^n \int\limits_0^{ + \infty } {y^n e^{ - y^2 } dy} + \int\limits_0^{ + \infty } {y^n e^{ - y^2 } dy} } \right) = \frac{{\left( { - 1} \right)^n + 1}}<br />{{a^{\frac{{n + 1}}<br />{2}} }} \cdot \int\limits_0^{ + \infty } {y^n e^{ - y^2 } dy} \underbrace = _{y = \sqrt u }\frac{{\left( { - 1} \right)^n + 1}}<br />{{2a^{\frac{{n + 1}}<br />{2}} }} \cdot \int\limits_0^{ + \infty } {\left( {\sqrt u } \right)^n e^{ - u} \frac{{du}}<br />{{\sqrt u }}} <br />$$
TEX: $$<br /> = \frac{{\left( { - 1} \right)^n + 1}}<br />{{2a^{\frac{{n + 1}}<br />{2}} }} \cdot \int\limits_0^{ + \infty } {u^{\left( {\frac{{n - 1}}<br />{2} + 1} \right) - 1} e^{ - u} du} = \frac{{\left( { - 1} \right)^n + 1}}<br />{{2a^{\frac{{n + 1}}<br />{2}} }} \cdot \Gamma \left( {\frac{{n - 1}}<br />{2} + 1} \right) = \frac{{\left( { - 1} \right)^n + 1}}<br />{{2a^{\frac{{n + 1}}<br />{2}} }} \cdot \Gamma \left( {\frac{{n + 1}}<br />{2}} \right)<br />$$

entonces
para n impares
TEX: $$<br />F\left( {a,2k + 1} \right) = \frac{{\left( { - 1} \right)^{2k + 1} + 1}}<br />{{2a^{\frac{{2k + 1 + 1}}<br />{2}} }} \cdot \Gamma \left( {\frac{{2k + 1 + 1}}<br />{2}} \right) = 0<br />$$

para n pares
TEX: $$<br />F\left( {a,2k} \right) = \frac{{\left( { - 1} \right)^{2k} + 1}}<br />{{2a^{\frac{{2k + 1}}<br />{2}} }} \cdot \Gamma \left( {\frac{{2k + 1}}<br />{2}} \right) = \frac{{\Gamma \left( {\frac{{2k + 1}}<br />{2}} \right)}}<br />{{a^{\frac{{2k + 1}}<br />{2}} }} = \frac{{\Gamma \left( {\frac{{2k + 1}}<br />{2}} \right)}}<br />{{a^{k + \frac{1}<br />{2}} }} = \frac{{\Gamma \left( {\frac{{2k + 1}}<br />{2}} \right)}}<br />{{a^k \sqrt a }}<br />$$

lo habia olvidado... gamma.


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vvea
mensaje May 7 2013, 11:09 PM
Publicado: #6


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No entiendo por qué piden ayuda y les resuelven el ejercicio. Eso no ayuda.
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mensaje May 8 2013, 09:01 AM
Publicado: #7


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CITA(vvea @ May 7 2013, 11:09 PM) *
No entiendo por qué piden ayuda y les resuelven el ejercicio. Eso no ayuda.

es el master_c, dejalo ser.
de todas maneras hubiera quedado mejor como spoiler.


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master_c
mensaje May 8 2013, 10:15 AM
Publicado: #8





Invitado
CITA(vvea @ May 7 2013, 11:09 PM) *
No entiendo por qué piden ayuda y les resuelven el ejercicio. Eso no ayuda.


1.- En este post nunca fue mi intención ayudar
2.- Está en sector ejercitación/propuestos, entonces asumo que era un propuesto. Existe un sector sólo para consultas y no es éste http://www.fmat.cl/index.php?showforum=470 harhar.gif
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Maxooon
mensaje May 8 2013, 11:08 AM
Publicado: #9


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Yo creo que el que tiene que reclamar acá soy yo, y en particular no tengo nada que reclamar.

De hecho gracias por darte la molestia de resolverlo, que probablemenete es más tedioso que simplemente dar una sugerencia.

En todo caso, la solución queda en función de Gamma.. estoy poco familiarizado con ella, pero ¿Cómo evaluarlarla?.. digo, si le metes esa integral que puse ahí a Wolfram Alpha, te la saca rapidito con un valor familiar.

En la solución expuesta, se tiene que para n pares, la función Gamma toma "cierta" forma, pero con un número impar dividido en 2. ¿Cómo evaluas eso en la función?

Puede ser una pregunta tonta, pero mejor hacerla.
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master_c
mensaje May 8 2013, 11:23 AM
Publicado: #10





Invitado
CITA(Maxooon @ May 8 2013, 11:08 AM) *
Yo creo que el que tiene que reclamar acá soy yo, y en particular no tengo nada que reclamar.

De hecho gracias por darte la molestia de resolverlo, que probablemenete es más tedioso que simplemente dar una sugerencia.

En todo caso, la solución queda en función de Gamma.. estoy poco familiarizado con ella, pero ¿Cómo evaluarlarla?.. digo, si le metes esa integral que puse ahí a Wolfram Alpha, te la saca rapidito con un valor familiar.

En la solución expuesta, se tiene que para n pares, la función Gamma toma "cierta" forma, pero con un número impar dividido en 2. ¿Cómo evaluas eso en la función?

Puede ser una pregunta tonta, pero mejor hacerla.

TEX: $$<br />F\left( {a,2k} \right) = \frac{{\Gamma \left( {\frac{{2k + 1}}<br />{2}} \right)}}<br />{{a^k \sqrt a }} = \frac{{\Gamma \left( {k + \frac{1}<br />{2}} \right)}}<br />{{a^k \sqrt a }} = \frac{{\left( {2k} \right)!}}<br />{{k!\left( {4a} \right)^k }}\sqrt {\frac{\pi }<br />{a}} = \frac{{\left( {2k - 1} \right)!!}}<br />{{\left( {2a} \right)^k }}\sqrt {\frac{\pi }<br />{a}} <br />$$
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