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> Demostracion
aka
mensaje Apr 16 2013, 08:40 PM
Publicado: #1


Principiante Matemático
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Hola podrían ayudarme con esta demostracion estudio2.gif


Sean TEX: $\ f,g: I\rightarrow \mathbb{R}^{n} $ tal que TEX: $\ f(a)=g(a)$ , donde TEX: I es un intervalo abierto y TEX: $\ a\in{I}$\ .Pruebe que TEX: $\ f^{\prime}(a)=g^{\prime}(a)$ si,y sólo si,


TEX: $\ \displaystyle\lim_{h \to{0}}{||f(a+h)-g(a+h)/h||} =0 $
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José Alejandro A...
mensaje Jun 18 2013, 08:28 PM
Publicado: #2


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Demostraremos un lado de la implicancia, como hipótesis tenemos que TEX: $\lim\limits_{h \rightarrow 0} \lvert \lvert \frac{f(a+h)-g(a+h)}{h}=0 \rvert \rvert$ .
Usamos la continuidad de la norma para introducir el límite dentro; y además sumamos cero de una manera conveniente TEX: $0=g(a)-f(a)$ Con lo que nos quedaría:
TEX: $\lvert \lvert \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{g(a+h)-g(a)}{h}\rvert \rvert=0$, pero por propiedades de la norma, la norma es cero si y solo si es la norma del vector cero, luego:
TEX: $\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{g(a+h)-g(a)}{h}=0$
Y esto es:
TEX: $f'(a)-g'(a)=0$
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José Alejandro A...
mensaje Jun 18 2013, 08:29 PM
Publicado: #3


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Haciendo el camino contrario llegas a lo otro smile.gif (recuerda pensar en la sutilezas para no hacerlo tan mecánicamente c: )

P.D. Una ayudita en latex, para poner las fracciones, pon

\frac{numerador}{denominador}

Mensaje modificado por José Alejandro Aburto A. el Jun 18 2013, 08:33 PM
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