Urgente, inducción de divisibilidad en trinomio! Opciones

[Squishy]

Hoooolaaaa!
Quisiera que me ayudaran a entender el siguiente problema de inducción

Utilizando el principio de inducción, demuestre que 4ⁿ + 15n + 8 es divisible por 3
i) Para n=1: 4¹ + 15(1) + 8 = 27, que es divisible por 3. Se verifica para n=1
ii) Supongamos validez para n=k : 4^k + 15(k) + 8 = 3 • c (hipótesis de inducción)
iii) P.D. validez de n= k+1 :4^k+1 + 15(k+1) + 8 = 3 • c

Demostración
4^k+1 + 15(k+1) + 8 = 4^k + 4 + 15k + 15 + 8 = 3 • 4^k + 4^k + 15k + 8 + 15
= 4^k + 15k + 8 + 3 • 4^k + 15
= 3c + 3 • 4^k + 15
= 3 • (c + 4^k + 5) = 3 • c


PD: no entiendo de donde sale el 3 de la demostración, asumo que será del 3 x c, pero no sé como sale, o según qué propiedad o qué es lo que no estoy viendo
Gracias de antemano!

Mensaje modificado por Squishy el Apr 10 2013, 06:07 PM

[»führer«]

nikitanipone

[Maxooon]

Viene de esto...

Inducción y divisibilidad

[lyonfor]

p(n) : 4^n+15n+8
p(1) : 4+15+8/3 = 27/3 = 9
p(k) : 4^k+15k+8
p(k+1): 4^(k+1)+15(k+1)+8
Desarrollando
= 4^k*4^1+15k+15+8 = 4^k*4+15k+15+8
Luego, asumendo el paso p(k), como: 4^k+15k+8=3q ( en tu caso específico 3c)
4^k*3+15+3q = 3(4^k+5kq) y eso es div por 3.
¿por qué el 3 multiplicando 4^k?)
porque 4^k*4 = 4^k+4^k+4^k+4^k
= 4^k+15k+8+4^k+4^k+4^k+15= 3q+15+4^k*3
= 3(5+q+4^k)
en otras palabras, olvida que se está multiplicando y trabaja todo en modo de sumas
luego, ve qué es lo que te equivale a 3q con la hipotesis inductiva
luego, iguala eso y trabaja lo restante del enunciado para que quede en forma de div por 3
cuando trabajas todo en forma de suma, en este tipo de ejercicios, el visualizarlos se hace mucho más fácil.