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> Una prueba
master_c
mensaje Mar 23 2013, 10:49 AM
Publicado: #1





Invitado
1). Resolver el sistema
TEX: $x^2 + xy + y^2 = 3^2$
TEX: $y^2 + yz + z^2 = 4^2$
TEX: $z^2 + zx + x^2 = 5^2$




2). Encuentre los enteros positivos TEX: $$\left( {a,b} \right)$$ tales que
TEX: $$\frac{{14}}{a} + \frac{a}{b} + \frac{b}{{14}} = 41$$




3). Un eneágono regular ABCDEFGHI tiene el lado 1, Calcular (ACF)




4). Sea m, n enteros positivos. Calcular
TEX: $$<br />\sum\limits_{k = 1}^{2n} {\prod\limits_{i = 0}^m {\frac{1}<br />{{\left\lfloor {k + \frac{1}<br />{2}} \right\rfloor + a + i}}} } <br />$$
donde a es un numero no negativo




5). Sea TEX: $$k > 0$$ y TEX: $$n \geqslant 0$$. Calcular
TEX: $$<br />\int\limits_0^1 {x^n \ln \left( {\sqrt {1 + x^k } - \sqrt {1 - x^k } } \right)dx} <br />$$




6). Encontrar las soluciones reales positivas TEX: $$\left( {x_1 ,x_2 ,...,x_n } \right)$$ del sistema
TEX: $$<br />x_1 + \sqrt {x_2 + 11} = \sqrt {x_2 + 76} <br />$$

TEX: $$<br />x_2 + \sqrt {x_3 + 11} = \sqrt {x_3 + 76} <br />$$

..................
TEX: $$<br />x_n + \sqrt {x_1 + 11} = \sqrt {x_1 + 76} <br />$$




7). Sean a, b, c numeros reales positivos tales que TEX: $$a + b + c = 1$$. Demuestre que
TEX: $$<br />\frac{{1 + a}}<br />{{bc}} + \frac{{1 + b}}<br />{{ac}} + \frac{{1 + c}}<br />{{ab}} \geqslant \frac{4}<br />{{\sqrt {a^2 + b^2 - ab} }} + \frac{4}<br />{{\sqrt {b^2 + c^2 - bc} }} + \frac{4}<br />{{\sqrt {a^2 + c^2 - ac} }}<br />$$




8). Calcular TEX: $$\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\sum\limits_{m = 1}^{ + \infty } {\frac{{nm}}{{\left( {n + m} \right)!}}} } $$



Mensaje modificado por master_c el Mar 23 2013, 11:46 AM
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master_c
mensaje Mar 23 2013, 12:34 PM
Publicado: #2





Invitado
Dejo aca las soluciones, puesto que no sere mas parte del foro


saludos, los que quieran intentarlo no la vean.
Para el problema 5 obtuve
TEX: $$<br />\frac{{\left( {n + 1} \right)\ln 2 - k}}<br />{{2\left( {n + 1} \right)^2 }} - \frac{{\sqrt \pi }}<br />{4}\frac{1}<br />{{\left( {n + 1} \right)}}\frac{{\Gamma \left( {\frac{{n + 1}}<br />{{2k}}} \right)}}<br />{{\Gamma \left( {\frac{{n + k + 1}}<br />{{2k}}} \right)}}<br />$$ por si se motiva

y para el problema 4
TEX: $$<br />\sum\limits_{k = 1}^{2n} {\prod\limits_{i = 0}^m {\frac{1}<br />{{\left\lfloor {\frac{{k + 1}}<br />{2}} \right\rfloor + a + i}}} } = \frac{2}<br />{m} \cdot \frac{{a!\left( {m + a + n} \right)! - \left( {a + n} \right)!\left( {m + a} \right)!}}<br />{{\left( {m + a} \right)!\left( {m + a + n} \right)!}}<br />$$
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