Cíclico implica colineales Opciones

[Kaissa]

[naruto2]

Sean F y G las respectivas intersecciones de los lados AD,BC y AB,DC. Estas 3 circunferencias tienen su centro radical en F ya que este queda definido con la interseccion de los ejes radicales AD y BC y por lo tanto como XY tanbien es eje radical debe concurrir en F. Sean P y Q las intersecciones de XY con la circunscrita al ciclico ABCD.


Como centro radical se debe cumplir que FX*FY=FP*FQ de donde escribimos FX=FP*FQ/FY.
Consideremos que QX=FQ-FX y PX=FX-FP y luego hacemos QX/PX=(FQ-FX)/(FX-FP). Ahora aqui reemplazamos FX
QX/PX=(FQ-FP*FQ/FY)/(FP*FQ/FY-FP) tomando arriba y abajo a FY como denominador comun queda algo asi: QX/PX=(FY*FQ-FP*FQ)/(FP*FQ-FY*FQ)=FQ(FY-FP)/FP(FQ-FY) y si vemos el dibujo (FY-FP) y (FQ-FY) son iguales a PY y QY, respectivamente, de modo que QX/PX=(FQ*PY)/(FP*QY) o bien (QX/PX)(FP/FQ)=PY/QY. (*)

Ademas, vemos que PQ es la polar de G respecto a la circunscrita al ABCD, luego sabemos que (F,X,P,Q) es cuaterna armonica que la escribimos asi: (QX/PX)(FP/FQ)=1 pero esto es igual al lado izquierdo de (*) entonces nos queda que
PY/QY=1 o bien PY=QY.
Sabemos que las tangentes a la circunstrita al ABCD por los puntos P y Q (dado que PQ es la polar de G) van a pasar por G, por lo tanto PGQ es un isosceles y como Y es punto medio de PQ sera GY perpendicular a PQ por lo tanto esta perpendicular va a pasar por O. (PQ es una cuerda en la circunferencia y cualquier perpendicular que pase por su punto medio va a contener al centro de dicha circunferencia)
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Mensaje modificado por naruto2 el Jan 15 2024, 06:47 AM