Prueba Grupal NM3, VIII Región.

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Prueba Grupal NM3, VIII Región.

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Hexe Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 27 2007, 01:07 PM Publicado: #1
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 39 Registrado: 6-August 05 Desde: Concepción Miembro Nº: 164 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 1. El número $TEX: $64=8^2=4^3$$ es cuadrado y cubo perfecto. Encontrar todos los números enteros que son cuadrados perfertos y cubos perfectos (ambas al mismo tiempo), menores que $TEX: $666.666.$$ Problema 2. Sean A,B,C,D y E cinco puntos en el plano con AB=21, BC= 17, CD= 14, DE= 67 y EA= 15. Encontrar el valor de AD. Problema 3. Encontrar todos los números enteros $TEX: n$ tales que: $TEX: $(n^2-3n+1)^{n+1} =1.$$ Problema 4. Utilizando varios cubos pequeños iguales, se forma un cubo grande. El abuelo Anacleto, matemático jubilado, pinta de rojo algunas de las caras de este cubo grande.Luego, desarma el cubo. Resulta que 45 de los cubos pequeños no tienen pintura roja en ninguna de sus caras. Determinar cuántos cubos pequeños usó el abuelo Anacleto. Problema 5. Sean $TEX: $x,y$$ y $TEX: $a$$ números reales tales que $TEX: $x+y=x^3+y^3=x^5+y^5=a.$$ Determinar todos los valores posibles de $TEX: $a$$ .

JoNy_SaTiE Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 30 2007, 02:11 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 1.118 Registrado: 11-September 05 Desde: Valdivia/Ancud Miembro Nº: 302 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA Problema 3. Encontrar todos los números enteros $TEX: $n$$ tales que: $TEX: $(n^2-3n+1)^{n+1} =1.$$ $TEX: <br />Hay dos casos, la base es $1$ o el exponente es $0$.<br /><br />Luego tenemos $n^2-3n+1=1 \Rightarrow n=0, n=3$, $n+1=0 \Rightarrow n=-1$.<br /><br />Las soluciones son: $n=-1,0,3$.<br />$ Mensaje modificado por JoNy_SaTiE el Aug 30 2007, 02:12 PM -------------------- Comienza a crear documentos con LaTeX. Ya usas LaTeX y quieres aprender un poco más ... pincha aquí Si eres de la UaCH ... únete a la causa !!! J. Jonathan H. Oberreuter A. Universidad Austral de Chile - RWTH Aachen alumni Est. Magister en Acústica y Vibraciones Ingeniero Civil Acústico (E) Bachiller y Licenciado en Cs. de la Ingeniería

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 30 2007, 03:41 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	La solución es incorrecta, porque todavía es posible encontrar más soluciones. Saludos -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 30 2007, 06:56 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Hay que notar que 67=21+17+14+15, de lo cual podemos concluir, que los puntos estan alineados, como se indica en la figura. AD=AB+BC+CD=21+17+14=52. Archivo(s) Adjunto(s) recta.PNG ( 1.68k ) Número de descargas: 0 -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

JoNy_SaTiE Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 30 2007, 10:14 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 1.118 Registrado: 11-September 05 Desde: Valdivia/Ancud Miembro Nº: 302 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />Hay tres casos, la base es $1$, el exponente es $0$ y la base es $-1$ y el exponente par.<br /><br />Luego tenemos $n^2-3n+1=1 \Rightarrow n=0, n=3$, $n+1=0 \Rightarrow n=-1$.<br /><br />$n^2-3n+1=-1 \Rightarrow n=2,\,n=1$. De estos \'ultimos tomamos $n=1$.<br /><br />Las soluciones son: $n=-1,0,1,3$.<br /><br />$ -------------------- Comienza a crear documentos con LaTeX. Ya usas LaTeX y quieres aprender un poco más ... pincha aquí Si eres de la UaCH ... únete a la causa !!! J. Jonathan H. Oberreuter A. Universidad Austral de Chile - RWTH Aachen alumni Est. Magister en Acústica y Vibraciones Ingeniero Civil Acústico (E) Bachiller y Licenciado en Cs. de la Ingeniería

JoNy_SaTiE Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 30 2007, 10:35 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 1.118 Registrado: 11-September 05 Desde: Valdivia/Ancud Miembro Nº: 302 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA Problema 1. El número $TEX: $64=8^2=4^3$$ es cuadrado y cubo perfecto. Encontrar todos los números enteros que son cuadrados perfertos y cubos perfectos (ambas al mismo tiempo), menores que $TEX: $666.666.$$ $TEX: <br />Sea $N$ el n\'umero. Al ser cubo y cuadrado de un natural tiene la forma: $N=a^{3\cdot 2n}, \, n\in N$.<br /><br />Luego <br />$a=0,n\neq 0,\; N=0$<br /><br />$a=1,\; N=1$<br /><br />$a=2,\; n=1,2,3 \; N=64,4096,262144$<br /><br />$a=3,\; n=1,2 \; N=729,531441$<br /><br />$a=4,\; n=1 \; N=4096$ (se repite.)<br /><br />$a=5,\; n=1 \; N=15625$<br /><br />$a=6,\; n=1 \; N=46656$<br /><br />Los n\'umero pedidos son: $N=0,1,64,729,4096,15625,46656,262144,531441$<br />$ -------------------- Comienza a crear documentos con LaTeX. Ya usas LaTeX y quieres aprender un poco más ... pincha aquí Si eres de la UaCH ... únete a la causa !!! J. Jonathan H. Oberreuter A. Universidad Austral de Chile - RWTH Aachen alumni Est. Magister en Acústica y Vibraciones Ingeniero Civil Acústico (E) Bachiller y Licenciado en Cs. de la Ingeniería

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 31 2007, 09:33 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Las dos soluciones de JoNy_SaTiE son correctas, observando que ninguna solución al problema 3 es una expresión del tipo 0⁰, y suponiendo que realmente 531441=9⁶ (no hice esa cuenta)(PD: te faltó 7⁶) Para la solución al problema 2, me gustaría una explicación un poco mejor, sobre cómo has usado la D _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ T _ _ _ _ _ _ _ _ _ Saludos -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

milko1979 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 4 2008, 12:43 AM Publicado: #8
Dios Matemático Grupo: Profesor de Matemáticas Mensajes: 255 Registrado: 18-May 07 Desde: Santiago - Chile Miembro Nº: 5.955 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Hexe @ Apr 27 2007, 10:31 PM) Problema 5. Sean $TEX: $x,y$$ y $TEX: $a$$ números reales tales que $TEX: $x+y=x^3+y^3=x^5+y^5=a.$$ Determinar todos los valores posibles de $TEX: $a$$ . Una solución obvia sería a = 0 Hagamos x = y $TEX: $2x = 2x^3$$ $TEX: $0= 2x^3 - 2x$$ $TEX: $0= 2x(x^2 -1)$$ Así para x = 0, $TEX: $0+0=0^3+0^3=0^5+0^5=0.$$ Para x = 1 $TEX: $1+1=1^3+1^3=1^5+1^5=2.$$ Así a puede ser 2 también. Para x = - 1 $TEX: $-1-1=(-1)^3+(-1)^3=(-1)^5+(-1)^5= -2.$$ Así a también puede ser - 2. Para x = -y, también se cumpliría que a =0. Ojo con lo siguiente $TEX: $x+y=(x+y)(x^2+xy+y^2)=(x+y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4)=a.$$ Luego de ver esto, hay que buscar para que condiciones se cumple que $TEX: $(x^2+xy+y^2)=(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4)$$ y, para los valores que se cumpla entonces a = x + y. pero, a simple vista, estas igualdades se darían solo para (0,0) (0, 1)(0,-1)(-1,+1), pero todas esas sumas ya fueron descritas anteriormente, entonces existen solo 3 soluciones, a=2, a= 0, a = -2. Mensaje modificado por milko1979 el May 4 2008, 01:16 AM -------------------- MILKO AMANTE DE LA VIDA

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