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Prime numbers, Resuelto por Logan Wayne

MysticMan Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 28 2013, 11:01 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 550 Registrado: 24-July 11 Desde: Chillán Miembro Nº: 92.177 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Encuentre todos los enteros positivos $n$, tal que $3n - 4$, $4n - 5$ y $5n - 3$, sean primos.$ Saludos. Mensaje modificado por MysticMan el Mar 1 2013, 06:39 PM -------------------- $TEX: $$1782^{12}+1841^{12}=1922^{12}$$$

Logan_Wayne Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 1 2013, 07:10 AM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 282 Registrado: 12-January 13 Desde: Bati-Escuela de Charles Xavier. Miembro Nº: 114.884 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(MysticMan @ Mar 1 2013, 12:01 AM) $TEX: Encuentre todos los enteros positivos $n$, tal que $3n - 4$, $4n - 5$ y $5n - 3$, sean primos.$ Saludos. $TEX: Si $n$ es par (es de la forma $2k$ con $k\in\mathbb{N}$), tenemos que \begin{eqnarray}3n-4 &=& 6k-4\\ &=& 2(3k-2)\end{eqnarray} Luego, es primo si $k=1$, es decir $n=2$ y los n\'umeros son: \begin{eqnarray}3n-4 &=& 2\\4n-5 &=& 3\\ 5n-3 &=& 7\end{eqnarray}$ $TEX: Si $n$ es impar (es de la forma $2k-1$ con $k\in\mathbb{N}$), tenemos que \begin{eqnarray}5n-3 &=& 10k-8\\ &=& 2(5k-4)\end{eqnarray} Luego, es primo si $k=1$, es decir $n=1$, pero si $n=1$ tenemos que \begin{eqnarray}3n-4 &=& -1\\ 4n-5 &=& -1\end{eqnarray} que no son primos.$ $TEX: Se concluye que el \'unico $n$ que cumple lo pedido es $n=2$$ --------------------

Heiricar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 1 2013, 03:54 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 423 Registrado: 4-January 11 Miembro Nº: 82.624 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Otra Todo primo es congruente a 1 o -1 mod 6 (excepto 2 y 3), ahora notando que (3n-4)+(4n-5)+(5n-3)=0 mod 6 tenemos que al menos uno de los primos es congruente a un numero par mod 6, y como 2 es el único primo congruente a un numero par mod 6 tenemos que 3n-4=2 (ya que 3n-4 es el menor) de donde n=2. Remplazando vemos que cumple con lo pedido

MysticMan Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 1 2013, 06:38 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 550 Registrado: 24-July 11 Desde: Chillán Miembro Nº: 92.177 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Logan_Wayne @ Mar 1 2013, 08:10 AM) $TEX: Si $n$ es par (es de la forma $2k$ con $k\in\mathbb{N}$), tenemos que \begin{eqnarray}3n-4 &=& 6k-4\\ &=& 2(3k-2)\end{eqnarray} Luego, es primo si $k=1$, es decir $n=2$ y los n\'umeros son: \begin{eqnarray}3n-4 &=& 2\\4n-5 &=& 3\\ 5n-3 &=& 7\end{eqnarray}$ $TEX: Si $n$ es impar (es de la forma $2k-1$ con $k\in\mathbb{N}$), tenemos que \begin{eqnarray}5n-3 &=& 10k-8\\ &=& 2(5k-4)\end{eqnarray} Luego, es primo si $k=1$, es decir $n=1$, pero si $n=1$ tenemos que \begin{eqnarray}3n-4 &=& -1\\ 4n-5 &=& -1\end{eqnarray} que no son primos.$ $TEX: Se concluye que el \'unico $n$ que cumple lo pedido es $n=2$$ Correcto . El razonamiento de Heiricar es prácticamente el mismo que el mío, sólo que sin congruencias . Saludos. Mensaje modificado por MysticMan el Mar 1 2013, 06:40 PM -------------------- $TEX: $$1782^{12}+1841^{12}=1922^{12}$$$

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 1 2013, 08:30 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	5n-3>3n-4 y (5n-3)-(3n-4) = 2n + 1, ergo 3n-4 es 2. Fin. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

Kreator Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 1 2013, 09:31 PM Publicado: #6
Dios Matemático Grupo: Super Moderador Mensajes: 261 Registrado: 12-February 11 Miembro Nº: 83.790 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Heiricar @ Mar 1 2013, 03:54 PM) Otra Todo primo es congruente a 1 o -1 mod 6 (excepto 2 y 3), ahora notando que (3n-4)+(4n-5)+(5n-3)=0 mod 6 tenemos que al menos uno de los primos es congruente a un numero par mod 6, y como 2 es el único primo congruente a un numero par mod 6 tenemos que 3n-4=2 (ya que 3n-4 es el menor) de donde n=2. Remplazando vemos que cumple con lo pedido Podría ser instructivo para alguien que empieza tratar de demostrar que todos los primos son de la forma $TEX: $6k+1$$ ó $TEX: $6k-1$$ Mensaje modificado por Kreator el Mar 1 2013, 09:32 PM --------------------

Laulieth´ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 1 2013, 10:09 PM Publicado: #7
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 233 Registrado: 21-February 12 Desde: Cerro Navia, Santiago - Valparaíso Miembro Nº: 101.376 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Kreator @ Mar 1 2013, 09:31 PM) Podría ser instructivo para alguien que empieza tratar de demostrar que todos los primos son de la forma $TEX: $6k+1$$ ó $TEX: $6k-1$$ Inténtelo primero! Sea $TEX: p$ un primo cualquiera, distinto de $TEX: 2$ y de $TEX: 3$ ; notar que por euler se tiene que $TEX: \[p^{\varphi (6)}\equiv 1(mod6)\]<br />$ entonces se tiene que $TEX: \[p^{2}\equiv 1mod6\leftrightarrow (p+1)(p-1)\equiv 0mod6\]<br />$ . Notar que tenemos 2 casos(puesto que $TEX: 6$ debe dividir al menos 1); $TEX: \[p\equiv 1mod6\]<br />$ y $TEX: \[p\equiv -1mod6\]<br />$ . Y con eso estamos. Mensaje modificado por Laulieth´ el Mar 2 2013, 04:26 PM --------------------

Kreator Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 1 2013, 10:12 PM Publicado: #8
Dios Matemático Grupo: Super Moderador Mensajes: 261 Registrado: 12-February 11 Miembro Nº: 83.790 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Laulieth´ @ Mar 1 2013, 10:09 PM) Inténtelo primero! Sea $TEX: p$ un primo cualquiera; notar que por euler se tiene que $TEX: \[p^{\varphi (6)}\equiv 1(mod6)\]<br />$ entonces se tiene que $TEX: \[p^{2}\equiv 1mod6\leftrightarrow (p+1)(p-1)\equiv 0mod6\]<br />$ . Notar que tenemos 2 casos(puesto que $TEX: p$ debe dividir al menos 1); $TEX: \[p\equiv 1mod6\]<br />$ y $TEX: \[p\equiv -1mod6\]<br />$ . Y con eso estamos. Y si el primo es 2 o 3?(lo digo porque pusiste para cualquier primo p). Para alguien que no conozca la función contadora de coprimos de euler, hay un método mucho mas elemental. --------------------

Laulieth´ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 1 2013, 10:58 PM Publicado: #9
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 233 Registrado: 21-February 12 Desde: Cerro Navia, Santiago - Valparaíso Miembro Nº: 101.376 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Kreator @ Mar 1 2013, 10:12 PM) Y si el primo es 2 o 3?(lo digo porque pusiste para cualquier primo p). Para alguien que no conozca la función contadora de coprimos de euler, hay un método mucho mas elemental. Mis disculpas, asumí sabido eso; pero tenía que ponerlo. Vale por el alcance! --------------------

Kreator Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 1 2013, 11:04 PM Publicado: #10
Dios Matemático Grupo: Super Moderador Mensajes: 261 Registrado: 12-February 11 Miembro Nº: 83.790 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Sipos, porque para que funcione ese teorema, (p,6)=1. Buena solución de todas maneras --------------------

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