CEMAT 2007. Nivel M3. VIII Region

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CEMAT 2007. Nivel M3. VIII Region, Prueba Individual

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Cesarator	Apr 23 2007, 05:32 PM Publicado: #1
Invitado	Con otro propuesto por Tio Kenshin (adivinen cual) Dibujo.JPG ( 44.17k ) Número de descargas: 88

Nilrem Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 23 2007, 06:05 PM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 122 Registrado: 6-October 06 Desde: VIII Región Miembro Nº: 2.438 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Problema 1$ $TEX: Observando la imagen y usando pitagoras planteamos un sistema de ecuacion$ $TEX: <br />\[<br />h^2 + x^2 = 25^2 <br />\]<br />$ $TEX: <br />\[<br />h^2 + \left( {24-x^2 } \right) = 23^2 <br />\]<br />$ $TEX: <br />\[<br />\begin{array}{l}<br /> h^2 = 25^2-x^2 \\ <br /> h^2 = 23^2 -\left( {24-x} \right)^2 \\ <br /> \end{array}<br />\]<br />$ $TEX: <br />\[<br />\begin{array}{l}<br /> 25^2-x^2 = 23^2- \left( {24-x} \right)^2 \\ <br /> 25^2-x^2 = 23^2-24^2+48x-x^2 \\ <br /> 25^2-23^2+24^2 = 48x \\ <br /> \end{array}<br />\]<br />$ $TEX: <br />\[<br />\frac{{672}}{{48}} = x<br />\]<br />$ $TEX: x=14$ Haciendolo de nuevo me acabo de dar cuenta que en la prueba lo hise mal que rabia... Mensaje modificado por xsebastian el May 5 2008, 02:13 PM

xuncoco Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 26 2008, 04:59 PM Publicado: #3
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 40 Registrado: 14-January 08 Desde: Estadio Maracaná, Río de Janeiro, y en Chile. Miembro Nº: 14.654 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \noindent \textbf{Problema 3}\\<br />\\<br />) Si $x \in [0,1[$ tenemos $x \cdot [x] = x \cdot 0 = 0 \neq 630$.\\<br />\\<br />) Si $x \in [-1,0[$ tenemos $x \cdot [x] \le 1 < 630$.\\<br />\\<br />) Si $x<-1$\\<br />Notar que necesariamente se cumple que $[x] \le x < [x]+1$\\<br />Multiplicando por $[x] (<0)$ nos queda\\<br />$[x]([x]+1)<x\cdot[x]\le[x]^2$\\<br />$[x]([x]+1)<630\le[x]^2$\\<br />Y como $[x]\in\mathbb{Z}$, esto es imposible porque\\<br />$[x]\geq-25\Longrightarrow[x]^2\le 625<630 \ \ \rightarrow\leftarrow$\\<br />$[x]\le-26\Longrightarrow[x]([x]+1)\geq(-26)(-25)=650>630 \ \ \rightarrow\leftarrow$\\<br />\\<br />)Si $x\geq 1$\\<br />Tenemos que $[x] \le x < [x]+1$, multiplicamos por $[x]$ y queda\\<br />$[x]^2\le x\cdot[x]<[x]([x]+1)$\\<br />$[x]^2\le 630 <[x]([x]+1)$\\<br />Pero $[x]\in\mathbb{Z}$\\<br />Además $625<630<650 \Longrightarrow 25^2<630<25\cdot26$\\<br />Luego $[x]=25$, y es la única solución, ya que\\<br />$[x]\le24 \Longrightarrow [x]([x]+1) \le 24\cdot25=600<630 \ \ \rightarrow\leftarrow$\\<br />$[x]\geq26 \Longrightarrow [x]^2\geq26^2=676>630 \rightarrow\leftarrow$\\<br />\\<br />Así tenemos que $x\cdot[x]=630\Longrightarrow x\cdot25=630 \Longrightarrow x=\dfrac{630}{25}$$ Mensaje modificado por xuncoco el Mar 2 2008, 11:58 AM -------------------- pato style...

milko1979 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 1 2008, 06:34 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Profesor de Matemáticas Mensajes: 255 Registrado: 18-May 07 Desde: Santiago - Chile Miembro Nº: 5.955 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Ahí va el problema 2. En verdad no me manejo mucho con Latex. Archivo(s) Adjunto(s) ejercicio.jpg ( 20.78k ) Número de descargas: 5 -------------------- MILKO AMANTE DE LA VIDA

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 5 2008, 02:21 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	La solución al problema 1 es correcta (usando teorema de Pitágoras, resuelto por Nilrem). Existen otras soluciones pero que son esencialmente iguales. La solución al problema 3 tiene pasos incorrectos, en particular esta manipulación de desigualdades: CITA(xuncoco @ Feb 26 2008, 05:53 PM) $TEX: $[x]\geq-25\Longrightarrow[x]^2\le 625$$ No puedo calificar la solución al problema 2, por ahora (primero tengo que resolverlo por mi cuenta para reconocer las posibles dificultades). -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

xuncoco Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 5 2008, 07:15 PM Publicado: #6
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 40 Registrado: 14-January 08 Desde: Estadio Maracaná, Río de Janeiro, y en Chile. Miembro Nº: 14.654 Nacionalidad: Sexo:	CITA(xsebastian @ May 5 2008, 03:15 PM) La solución al problema 3 tiene pasos incorrectos, en particular esta manipulación de desigualdades: Notar que $TEX: $[x]\geq-25\Longrightarrow[x]^2\le 625$$ lo hice en el caso $TEX: $x<-1$$ , entonces ahí es legal... $TEX: $-25 \le [x] < -1 \Longrightarrow 1 < \|[x]\| \le 25 \Longrightarrow 1 < [x]^2 \le 625$$ Si me equivoco me avisas, man. Saludos. xcoco -------------------- pato style...

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