CEMAT 2007. Nivel M2. VIII Region

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CEMAT 2007. Nivel M2. VIII Region, Prueba Individual

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Cesarator	Apr 23 2007, 05:28 PM Publicado: #1
Invitado	Con un problema aporte de Tio Kenshin para CEMAT VIII región. Dibujo.JPG ( 44.43k ) Número de descargas: 99

Aprendixmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 24 2007, 11:44 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 512 Registrado: 28-November 06 Miembro Nº: 3.014 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: $\boxed{Problema\ 1}$$ $TEX: $Cada\ angulo\ interior\ del\ octagono\ mide\ \dfrac{180\cdot (8-2)}{8}=135\ y\ si \ \triangle ABP\ es\ equilatero\ entonces:\ \overline{AB}=\overline{BP}=\overline{AP}\ y \ <ABP\cong\ <BPA\cong\ <PAB=60$$ $TEX: $Ademas$$ $TEX: $<ABC=60+<PBC$$ $TEX: $<PBC=75$$ $TEX: $\overline{AB}=\overline{BC}$$ $TEX: $\Rightarrow \overline{PB}=\overline{BC}=\overline{AB}=\overline{AP}$$ $TEX: $\Rightarrow \triangle PBC\ es\ isosceles$$ $TEX: $\Rightarrow <PCB\cong \ <BPC=52,5º$$ $TEX: $Finalmente\ <APC=60+<BPC=112,5$$ Saludos Mensaje modificado por Aprendixmat el Apr 26 2007, 11:08 PM

Aprendixmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 26 2007, 12:07 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 512 Registrado: 28-November 06 Miembro Nº: 3.014 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: $\boxed{Problema\ 2}$$ $TEX: $Se\ tiene\ que\ a,b,c,d,e,f\ son\ menores\ que\ 6\ y\ distintos\ entre\ si.\ Por\ reglas\ de \ divisibilidad:$$ $TEX: $(1)\ 4\|abc\leftrightarrow 4\|bc$$ $TEX: $(2)\ 5\|bcd\leftrightarrow d=0\ o\ d=5$$ $TEX: $(3)\ 3\|cde \leftrightarrow 3\|c+d+e$$ $TEX: $(4)\ 10\|def \leftrightarrow f=0$$ $TEX: $\therefore d=5$$ $TEX: $Ahora\ veamos\ que\ valor\ toma\ c,\ para\ eso\ debemos\ tener\ en\ cuenta\ que\ los\ multiplos\ de\ 4$$ $TEX: $terminan$$ $TEX: $en:\ 0,2,4,6,8,\ descartamos\ 0\ (porque\ f=0),\ 8\ ( 8>6)\ y\ 6\ entonces\ tenemos\ dos\ casos:$$ $TEX: $\boxed{Caso\ 1}$$ $TEX: $\boxed{c=2}$$ $TEX: $Sabemos\ que\ 3\|cde,\ esto\ es,\ 3\|7+e,\ y\ por\ las\ condiciones\ del\ problema\ los\ unicos\ valores$$ $TEX: $que\ puede\ tomar\ e\ son\ 2\ o\ 5,\ pero\ rechazamos\ esta\ solucion\ para\ el \ problema\ puesto\ que\ los$$ $TEX: $digitos\ no\ deben\ repetirse$$ $TEX: $\boxed{Caso\ 2}$$ $TEX: $\boxed{c=4}$$ $TEX: $El\ unico\ e<6\ para\ el\ cual\ 3\|9+e\ es\ e=3\ por\ lo\ que\ abcdef=ab4530\ \Longrightarrow (a,b)=(2,1)\ o\ (a,b)=(1,2)\ pero\ si\ a=2\ y\ b=1,\ abc\ no\ es\ divisible\ por\ 4.$$ $TEX: $\therefore (a,b)=(1,2)$$ $TEX: $\Longrightarrow abcdef=124530$$ Saludos Mensaje modificado por Aprendixmat el Apr 26 2007, 11:25 PM

Aprendixmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 26 2007, 11:09 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 512 Registrado: 28-November 06 Miembro Nº: 3.014 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: $\boxed{Problema\ 3}$$ Conocimiento previo $TEX: $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)$$ Solución $TEX: $3a)$$ $TEX: $(a+b)^4$$ $TEX: $=[(a+b)^2]^2$$ $TEX: $=(a^2+2ab+b^2)^2$$ $TEX: $=(a^2)^2+(2ab)^2+(b^2)^2+2(a^2\cdot 2ab+a^2b^2+2ab\cdot b^2)$$ $TEX: $=a^4+4a^2b^2+b^4+2(2a^3b+a^2b^2+2ab^3)$$ $TEX: $=a^4+4a^2b^2+b^4+4a^3b+2a^2b^2+4ab^3$$ $TEX: $=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$$ $TEX: $3b)$$ $TEX: $n^2+(n+1)^2+(n^{2}(n+1))^2$$ $TEX: $=n^{2}+(n^{2}+2n+1)+n^{2}(n+1)^{2}$$ $TEX: $=n^{2}+(n^2+2n+1)+n^{2}(n^{2}+2n+1)$$ $TEX: $=n^{2}+(n^2+2n+1)+n^{4}+2n^{3}+n^{2}$$ $TEX: $=n^{4}+n^{2}+1+2n^{3}+2n^{2}+2n$$ $TEX: $=(n^2)^2+n^{2}+1^2+2(n^{3}+n^{2}+n)$$ $TEX: $=(n^2)^2+n^{2}+1^2+2(n^2\cdot n+n^2\cdot 1+n\cdot 1)$$ $TEX: $=(n^2+n+1)^2$$ $TEX: $Demostrando\ asi\ que\ n^2+(n+1)^2+(n^{2}(n+1))^2$$ $TEX: $es\ un\ cuadrado\ perfecto$$ Saludos Mensaje modificado por Aprendixmat el Apr 27 2007, 11:20 PM

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 27 2007, 08:21 PM Publicado: #5
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Muy bienvenida Jape FMAT Para agilizar la comprensión de los ejercicios, el foro cuenta con el sistema matemático $TEX: \LaTeX$ , y para dar los primeros pasos, recomiendo que pases por acá y acá. Saludos

Aprendixmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 27 2007, 11:26 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 512 Registrado: 28-November 06 Miembro Nº: 3.014 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Jape @ Apr 27 2007, 09:12 PM) hola, soy nueva en este foro y no se muy bien como funciona todo, pero intentare resolver un problema de los que están propuestos. problema 3a : Encontrar el desarrollo de (a + b)⁴ (a + b)⁴ = [(a + b)²]² [(a + b)²]² = [(a² + b² + 2ab]² Resolvemos el resultado anterior como un cuadrado de trinomio. (a² + b² + 2ab)² = (a²)² + (b²)² + (2ab)² + 2(a² · b²) + 2(a² · 2ab) + 2(b² · 2ab) Lo anterior es igual a: -> a⁴ + b⁴ + 4a²b² + 2a²b² + 4a³b + 4ab³ ->a⁴ + b⁴ + 6a²b² + 4a³b + 4ab³ Por lo tanto --> (a + b)⁴ = a⁴ + b⁴ + 6a²b² + 4a³b + 4ab³ Ojala este bueno Saludos Bienvenida a Fmat !! Solución correcta!! no me había dado cuenta pero había omitido un sumando y escribi como resultado $TEX: $a^{4}+4a^{2}b+4{a}^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^4$$ en vez de $TEX: $a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$$ al menos lo edite! Cabe destacar que también se puede resolver el problema por el teorema del Binomio de Newton. Saludos Mensaje modificado por Aprendixmat el Apr 27 2007, 11:31 PM

nachooo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 8 2007, 04:33 PM Publicado: #7
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2 Registrado: 6-May 07 Miembro Nº: 5.651 Nacionalidad: Sexo:	Cuando daran los resultados de las pruebas?? -------------------- Creación ;

Razher Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 25 2007, 08:29 PM Publicado: #8
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 10 Registrado: 25-February 07 Miembro Nº: 4.184 Nacionalidad: Sexo:	Disculpen, alguno de ustedes me podría anexar información y ejercicios, de donde pueda aprender los significados, de "semejantes", "regulares" y "congruentes", por favor, si además no es porblema para ustedesd podrían deciurme también como se llama esa área de la geometría porque necesito rezorfar bien esa parte disculpen si dije algo ignorante respecto a esto, pero realmente no me manejo en geometría como me gustaría bueno se cuidan

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