I1 Probística (EYP1113)

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I1 Probística (EYP1113), 2S 2011

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Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 25 2012, 12:58 AM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />\noindent \textbf{Problema 1.}\\<br /><br />\noindent Actualmente es muy común que los bancos y otras entidades comerciales clasifiquen a sus clientes según ciertos perfiles, que hacen más eficiente la venta de distintos productos a sus ejecutivos. Suponga que a una sucursal de un banco acaba de llegar un listado con 30 nuevos clientes que se agregarán a la cartera ya existente, los cuales ya vienen clasificados desde la mesa central como perfil $A$ (12 clientes) o perfil $B$ (18 clientes). Si usted es el agente responsable de la sucursal y tiene a cargo solo dos ejecutivos:\\<br /><br />(a) ¿De cuántas maneras podría asignar a estos 30 nuevos clientes a los\\<br />\indent ejecutivos siendo justo según perfil?\\<br />\indent (b) Si solo cuatro de los clientes con perfil $A$ y ocho del $B$ están dispuestos\\<br />\indent a adquirir un producto si se lo ofrecen. ¿Cuál es la probabilidad que la\\<br />\indent repartición hecha por usted en (a) realmente haya sido justa?<br />$ $TEX: <br />\noindent \textbf{Problema 2.}\\<br /><br />\noindent Producto del accidente recientemente acaecido en Isla Juan Fernández, diversos expertos han opinado con respecto a los riesgos y probabilidades asociadas. Haciendo un sucinto resumen de las diferentes discusiones, se pueden aislar tres factores relevantes que pueden haber incidido en el accidente: falla técnica, falla humana y/o condiciones meteorológicas adversas. Además, es bien sabido que en los accidentes aéreos la presencia de falla humana interactúa con los otros dos factores, y que la ocurrencia de fallas técnicas y condiciones climáticas son independientes.\\<br /><br />\noindent Basados en un exhaustivo análisis del último centenar de accidentes que han afectado a los aviones CASA, se tienen las siguientes probabilidades (o proporciones):<br /><br />\begin{itemize}<br />\item Proporción de accidentes aéreos en que han estado presente los tres factores (es decir, concurren falla humana, mal tiempo y falla técnica) $= 12\%$.<br />\item Proporción de accidentes aéreos en que han estado presente solamente los siguientes dos factores: falla humana y falla técnica $=14\%$ (con buenas condiciones climáticas)<br />\item Proporción de accidentes aéreos en que han estado presente solamente los siguientes dos factores: falla humana y mal tiempo $ = 32\%$ (no hay evidencia de falla técnica)<br />\item Proporción de accidentes aéreos en que únicamente ha estado presente la falla humana $=28\%$ (con buen tiempo y sin falla técnica.<br />\end{itemize} <br /><br />\noindent Obviamente, existen otros factores presentes (ej: sobrepeso) que permiten complementar las proporciones faltantes y que no corresponden a ninguno de los otros tres factores descritos.\\<br />\noindent Por último, del análisis se obtiene que en el $60\%$ de los accidentes aéreos las condiciones climáticas eran adversas y análisis técnicos muestran que sólo en un $30\%$ de los accidentes están presente una o más fallas técnicas.\\<br /><br />(a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un accidente esté presente la falla\\<br />\indent humana?$ $TEX: <br />\indent (b) Si se determinó la presencia de falla humana, ¿cuál es la probabilidad \\<br />\indent de que concurran las condiciones climáticas adversas y falla técnica?\\<br />\indent © ¿Cuál es la probabilidad de que esté presente únicamente el clima\\<br />\indent adverso?<br />$ $TEX: <br />\textbf{Problema 3.}\\<br /><br />\noindent Sea $Z$ el tiempo transcurrido entre sismos que afectan a una zona. Una distribución que se ajusta muy bien en la práctica a este tipo de datos es la llamada distribución Gaussiana-Inversa$(\mu, \lambda)$, la cual está determinada por la siguiente función de densidad:<br /><br />\begin{center}<br />$\displaystyle f_Z(z) = \sqrt{\frac{\lambda}{2\pi}}z^{-3/2}\exp\left[-\frac{\lambda}{2\mu^2z}(z-\mu)^2\right]\vspace{1cm}$(1)<br />\end{center}<br /><br />\noindent con $z\in\mathbb{R}^+,\mu\in\mathbb{R}^+$ y $\lambda\in\mathbb{R}^+$.\\<br /><br />\noindent A continuación usted analizará el comportamiento de sus momentos teóricos, para ello se recomienda trabajar con la siguiente re-parametrización de la densidad propuesta en (1):<br /><br />\begin{center}<br />$\displaystyle f_Z(z) = \sqrt{\frac{\lambda}{2\pi}}z^{-3/2}\exp\left[-\lambda\alpha z+\lambda(2\alpha)^{1/2}-\frac{\lambda}{2z}\right]\vspace{1cm}$(2)<br />\end{center}<br /><br />\noindent donde $\displaystyle\alpha = \frac{1}{2\mu^2}$.\\<br /><br />\indent (a) Muestre que la función generadora de momentos de $Z$ es<br /><br />\begin{center}<br />$\displaystyle M_Z(t)=\exp\left[\frac{\lambda}{\mu}\left(1-\sqrt{1-\frac{2\mu^2t}{\lambda}}\right)\right], t<\frac{\lambda}{2\mu^2}.$<br />\end{center}<br /><br /><br />\indent (b) Muestre que la varianza de $Z$ es $\displaystyle\frac{\mu^3}{\lambda}$.\\<br />\indent © Muestre que el coeficiente de asimetría de $Z$ es $\displaystyle 3\left(\frac{\mu}{\lambda}\right)^{1/2}$.<br /><br />$ $TEX: <br />\noindent \textbf{Problema 4.}\\<br /><br />\noindent En el reciente caso de La Polar, los montos de las re-negociaciones unilaterales alcanzan en promedio los $M\$650$ con un coeficiente de variación del $40\%$.\\<br /><br />\noindent Si asumimos que los montos se comportan como una distribución Normal, evalúe:\\<br /><br />\indent (a) Proporción de morosos re-negociados unilateralmente que se encuentran sobre una desviación del monto medio.\\<br />\indent (b) Monto máximo re-negociado del $30\%$ de morosos de los menores montos re-negociados.\\<br /><br />\noindent Si asumimos que los montos re-negociados se comportan como una distribución Log-Normal, evalúe:<br /><br />\indent © Proporción de morosos re-negociados unilateralmente que se encuentran sobre una desviación estándar de la mediana de los montos.\\<br />\indent (d) Monto mínimo renegociado del $30\%$ de morosos de los mayores montos renegociados.<br /><br /><br />$ -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)