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Examen Cálculo I

JustFantasy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 22 2012, 01:41 PM Publicado: #1
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 154 Registrado: 23-September 12 Desde: Hᵐ(Ω) Miembro Nº: 111.187 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Universidad de Santiago de Chile, Facultad de Ciencias, Departamento de Matemática y C.C. Cálculo I - Ingeniería Examen - Segundo Semestre 2012. $TEX: $\textbf{Problema 1:}$$ 1.1) Si $TEX: \[<br />f(x) = \sqrt[3]{x}\left( {1 - \cos x} \right)<br />\]$ , calcule $TEX: \[<br />f'(0)<br />\]$ 1.2) Considere la curva $TEX: \[<br />x^3 (y - 1)^3 + (y - 1)^2 = x + y - 1<br />\]$ . 1.2.1) Determine $TEX: \[<br />y'<br />\]$ en un punto $TEX: \[<br />(x,y)<br />\]$ cualquiera. 1.2.2) Encuentre la ecuación de la recta normal en el punto $TEX: \[<br />(x,y) = ( - 1,2)<br />\]$ $TEX: $\textbf{Problema 2:}$$ Un cliente le pide que diseñe un tanque de almacenamiento de gas líquido. Las especificaciones del cliente demandan un tanque cilíndrico con extremos semiesféricos, el cual debe contener $TEX: \[<br />8000[m^3 ]<br />\]$ de gas. Además, el cliente quiere usar la menor cantidad de material posible en la construcción del tanque. ¿Qué radio y altura recomendaría para la porción cilíndrica del tanque? asdsadsa.PNG ( 5.96k ) Número de descargas: 7 $TEX: $\textbf{Problema 3:}$$ Los puntos $TEX: \[<br />A<br />\]$ y $TEX: \[<br />B<br />\]$ se mueven a lo largo de los ejes coordenados X e Y, respectivamente, de manera que la distancia $TEX: \[<br />r<br />\]$ (en metros) a lo largo de la perpendicular desde el origen a la recta $TEX: \[<br />AB<br />\]$ permanece constante. ¿Qué tan rapido cambia $TEX: \[<br />OA<br />\]$ cuando $TEX: \[<br />OB = 2r<br />\]$ y B se mueve hacia O a una razon de $TEX: \[<br />0,3r\left[ {\frac{m}<br />{{seg}}} \right]<br />\]$ ? dddffdfd.PNG ( 6.62k ) Número de descargas: 3 $TEX: $\textbf{Problema 4:}$$ Una partícula se desplaza sobre una recta coordenada con velocidad $TEX: \[<br />v(t) = e^{at} \sin \left( {bt} \right)<br />\]$ , $TEX: \[<br />a,b<br />\]$ constantes no nulas. Si la posición es igual a $TEX: \[<br />2b<br />\]$ cuando $TEX: \[<br />t = 0<br />\]$ , determine $TEX: \[<br />s(t)<br />\]$ , la posicion de la particula en el instante $TEX: \[<br />t<br />\]$ Puntaje: 60 ptos. Tiempo: 2 hrs Salu2 -------------------- Y los médanos, serán témpanos en el vértigo, de la eternidad ...

Naxoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 22 2012, 08:29 PM Publicado: #2
Staff FMAT Grupo: Moderador Mensajes: 2.604 Registrado: 2-March 07 Desde: Somewhere over the rainbow Miembro Nº: 4.244 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Me pareció interesante el problema 3. Si no les molesta postearé mi solución Sea C el punto en donde el segmento de longitud r intersecta al segmento AB, digamos que OA=y, OB=x. Así: $TEX: \[\begin{gathered}<br /> \overline {AC} = \sqrt {{y^2} - {r^2}} \hfill \\<br /> \overline {CB} = \sqrt {{x^2} - {r^2}} \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />$ Usando el Teorema de Euclides: $TEX: \[{r^2} = \sqrt {{y^2} - {r^2}} \cdot \sqrt {{x^2} - {r^2}} \]<br />$ Escribiendo más bonito todo, y teniendo en cuenta que tanto y como x dependen del tiempo, llegamos a la ecuación: $TEX: \[x\left( t \right) = \frac{{r \cdot y\left( t \right)}}<br />{{\sqrt {{y^2}\left( t \right) - {r^2}} }}\]<br />$ Ahora, notemos que nos piden: x'(y=2r). Entonces derivamos la ecuación anterior obtenida y llegamos a: $TEX: \[x'\left( t \right) = \frac{{r \cdot y'\sqrt {{y^2} - {r^2}} - ry \cdot \frac{{y \cdot y'}}<br />{{\sqrt {{y^2} - {r^2}} }}}}<br />{{y^2} - {r^2}}\]<br />$ Entonces sólo basta hacer los reemplazos: y=2r, y'=0,3r para llegar a lo pedido Saludos! -------------------- INRIA - Francia, Sophia Antipolis Biocore Team Ingeniero Civil en Biotecnología Ingeniería Civil Químico “(…) los elementos que él (¿o Él?) [Dios] mismo nos ha dado (raciocinio, sensibilidad, intuición) no son en absoluto suficientes como para garantizarnos ni su existencia ni su no existencia. Gracias a una corazonada puedo creer en Dios y acertar o no creer en Dios y también acertar" Mario Benedetti $TEX: \[\iiint\limits_\Omega {\left( {\nabla \cdot \vec F} \right)dV} = \iint\limits_{\partial \Omega } {\left( {\vec F \cdot \hat n} \right)}dS\]<br />$

Lichiel Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 4 2015, 02:39 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 736 Registrado: 3-December 12 Miembro Nº: 113.971 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Problema 1. $TEX: \noindent 1.1) Dememos calcular el limite : $$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \sqrt[3]{x}\frac{(1-\cos x)}{x} = 0 \cdot 1 = 0$$<br />1.2.1) Asumiendo que $y(x)$ existe. Derivamos la curva y llegamos a la ecuación :<br />$$ x^3\cdot 3(y-1)^2y'+3x^2(y-1)^3+2(y-1)y'=y' $$ <br />Despejando $y'$:<br />$$ y' = \frac{-3x^2(y-1)^3}{3x^3(y-1)^2+2(y-1)-1}$$<br />1.2.2) Usando la ecuación anterior evaluamos en $(-1,2)$ y llegamos a que la pendiente de la recta tangente es 3/2.<br />Por lo tanto la pendiente de la recta normal es -2/3. Finalmente la ecuación de la recta es :<br />$$ y - 2 =-\frac{2}{3}(x+1)$$<br />Observación : A veces no es malo verificar que el punta pertenece a la curva. <br />$ -------------------- $TEX: \begin{center} $ \aleph_0$ $<$ $\|?\|$ $< \aleph_1 $ \end{center}$ $TEX: Teorema: Si 2 personas tienen el mismo RUT entonces son la misma o existe un delito o el registro civil cometió un error, Denuncie.$ Quiero plata

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