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3º Nivel Individual, Sedes Santiago, Talagante y Rancagua

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S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 19 2008, 10:34 PM Publicado: #11
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(xuncoco @ Apr 18 2008, 07:13 AM) $TEX: \noindent \textbf{P1 Solución:}\\<br />\\<br />Sean $x_1, \dots ,x_9$ los números distribuídos por A, tales que $x_i$ está en la posición $i$, con $x_i \in \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \} \ \forall i=0,1,\dots,9$ (todos los $x_i$ distintos).\\<br />\\<br />Una vez puestos los números, llega B y escribe los signos obteniendo el mínimo valor de la suma. Luego, dicha suma mínima está dada por:\\<br />\\<br />$S=x_1+min \{ P,Q \} -max \{ P,Q \}$\\<br />donde $P=x_2+x_4+x_6+x_8$ y $Q=x_3+x_5+x_7+x_9$\\<br />\\<br />Entonces A debe distribuir los números nuevamente para obtener el máximo valor.\\<br />\\<br />Como $x_1$ es siempre positivo su valor debe ser igual al mayor número, es decir, $x_1=9$.\\<br />Para encontrar el máximo valor de $S$, necesitamos darle nuevos valores a $x_2,\dots,x_9$ de modo que $P$ sea máximo y que $Q$ sea mínimo, y $S$ tenga la forma $S=x_1+P-Q$. Para obtener los $P$ y $Q$ que queremos, hacemos...\\<br />\\<br />$x_2=5,x_4=6,x_6=7,x_8=8$\\<br />$x_3=1,x_5=2,x_7=3,x_9=4$\\<br />\\<br />Y el valor de $S$ es...\\<br />\\<br />$S=x_1+P-Q=9+(5+6+7+8)-(1+2+3+4)=25$<br />$ Caro colega, está cometiendo un error al decir que el jugador A realiza dos distribuciones de números. Puede leer con atención la solución de =3fR4= (que está correcta), o seguir la siguiente explicación. el jugador A elige en qué orden escribirá los números. Este orden fue indicado como x₁,x₂,x₃,x₄,x₅,x₆,x₇,x₈,x₉ A continuación, el jugador B tiene que optar por uno de los siguientes números: M=x₁-x₂+x₃-x₄+x₅-x₆+x₇-x₈+x₉ N=x₁+x₂-x₃+x₄-x₅+x₆-x₇+x₈-x₉ Como se dice en el enunciado, el jugador B optará por elegir el menor de ellos. El punto clave de la solución es el siguiente: si a,b son números reales, entonces $TEX: $\min\{a,b\}\le\dfrac{a+b}2$$ (en palabras: dados dos números, el menor de ellos NO puede ser mayor que el promedio.). Por lo tanto, A no puede asegurarse que el resultado sea mayor que $TEX: $\dfrac{M+N}2=x_1$$ . De hecho, su rival tomará cualquier oportunidad que tenga para que el resultado sea aún menor. La única manera para evitarlo es garantizando que M=N=9. Afortunadamente, esto se puede hacer por tanteo, puedes mirar más arriba alguna solución para esto. PD: en la solución de iMPuRe, dice que x debe ser 0, porque de lo contrario el jugador B se asegurará que el resultado sea menor que 9. -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

xuncoco Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 20 2008, 03:52 PM Publicado: #12
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 40 Registrado: 14-January 08 Desde: Estadio Maracaná, Río de Janeiro, y en Chile. Miembro Nº: 14.654 Nacionalidad: Sexo:	CITA(xsebastian @ Apr 19 2008, 11:28 PM) Caro colega, está cometiendo un error al decir que el jugador A realiza dos distribuciones de números. Puede leer con atención la solución de =3fR4= (que está correcta), o seguir la siguiente explicación. =( entonces entendí mal el problema y A solo distribuye los números al comienzo y nunca mas, ¿es así? =( saludos, man -------------------- pato style...

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 26 2008, 04:23 PM Publicado: #13
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(xuncoco @ Apr 20 2008, 04:46 PM) entonces entendí mal el problema y A solo distribuye los números al comienzo y nunca mas, ¿es así? Es así, el jugador A sólo realiza una distribución de números, al principio del juego. -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 10 2012, 11:59 PM Publicado: #14
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Un perrio bien acicalaito (8) -------------------- Me voy, me jui.

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