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3º Nivel Individual, Sedes Santiago, Talagante y Rancagua

fs_tol Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 22 2007, 01:11 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 670 Registrado: 30-January 06 Desde: Ñuñoa, Santiago Miembro Nº: 524 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	i3.jpg ( 57.55k ) Número de descargas: 56 -------------------- $TEX: $CARITA$$

=3fR4= Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 22 2007, 06:14 PM Publicado: #2
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 27 Registrado: 31-October 05 Miembro Nº: 355	Bueno, aqui van mis soluciones para la prueba, no se si esten totalmente buenas, pero al menos serviran para iniciar la discusion: Problema 1: Si llamamos x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9 a la ditribucion escogida por A, de los elementos del conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9} sin repeticiones, notaremos que el resultado que se obtendra sera: r= x1±\|(x2+x4+x6+x8)-(x3+x5+x7+x9)\| para simplificar, si llamamos P=x2+x4+x6+x8 y Q=x3+x5+x7+x9, entonces r=x1±\|P-Q\| Ahora bien, el signo ± representa la desicion de B, pero como este desea obtener el menor valor posible en el resultado, siempre partira con un signo (que van alternados), de tal forma que el resultado de ±\|P-Q\| sea negativo, luego, el resultado simplemente será: r=x1-\|P-Q\| Para que A pueda maximizar esto, debe exoger x1 máximo, y \|P-Q\| mínimo, esto es: x1=max{1,2,3,4,5,6,7,8,9}=9 y \|P-Q\|=0 (lo que es posible como se ve enseguida) una forma de obtener \|P-Q\|=0, seria P=1+4+5+8=18 y Q=2+3+6+7=18 o vicerversa de cualquier forma, el resultado maximo que puede obtener A, suponiendo que B utiliza su mejor estrategia, es r=9 ...bueno, el otro problema que fue el que mas tiempo me tuvo pensando (dada mi falta de practica =/), aunque finalmente me salio, lo resolvi basicamente aplicando pitagoras y el teorema de la bisetriz, y prolongando AK hasta su interseccion con CD ... vere si puedo subir un dibujo o algo asi saludos desde el humilde pueblo de Antofa =P

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 22 2007, 06:32 PM Publicado: #3
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	sol.PNG ( 6.9k ) Número de descargas: 7 No me agrada la reducción de imágenes $TEX: \noindent $\boxed{\mathbb{S}p_2}$ Prolongamos $\overline{CB}$ por $B$ hasta un punto $Q$ tal que $\overline{BQ}=\overline{MD}\implies \triangle ADM\cong\triangle ABQ\ \therefore\ \measuredangle\ DAM=\measuredangle\ BAQ$. Por otra parte $\measuredangle\ AKB=2\alpha$ (alternos internos entre paralelas)$\implies \measuredangle\ QAK=90^\circ-\alpha$. Si bien $\measuredangle\ BQA=90^\circ-\alpha\implies \triangle AKQ$ es is\'osceles, entonces<br /><br />$$\overline{AK}=\overline{BK}+\overline{BQ}\implies \boxed{\overline{DM}+\overline{KB}=\overline{AK}}$$$

iMPuRe Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 22 2007, 07:07 PM Publicado: #4
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 193 Registrado: 22-March 07 Desde: San Miguel, Santiago Miembro Nº: 4.651 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	R1 Notemos que el primer numero que se coloca en la figura siempre es positivo, asi que si $TEX: A$ quiere maximizar el resultado debe colocar el mayor en ese lugar, osea el $TEX: 9$ . Sea $TEX: $a_i \in \{1,2,3,4,5,6,7,8\}$$ tal que ningun $TEX: $a_i$$ es igual a otro, nos queda algo así: $TEX: $9+(a_1+a_2+a_3+a_4)-(a_5+a_6+a_7+a_8)=9+x$$ $TEX: $9-(a_1+a_2+a_3+a_4)+(a_5+a_6+a_7+a_8)=9-x$$ $TEX: B$ elige una de las dos a conveniencia. Notemos que $TEX: $a_1+...+a_8=\frac{8 \cdot 9}{2}=36$$ así que podemos dividirla en dos grupos de igual suma, notemos que si $TEX: x$ es diferente de $TEX: 0$ , $TEX: B$ siempre puede hacer que el resultado sea menor que $TEX: 9$ , pero si $TEX: x=0$ no, ósea este caso maximiza. Luego $TEX: A$ debe hacer de la siguiente forma su elección: $TEX: 9( )7( )8( )5( )3( )4( )1( )2( )6$ y el resultado es $TEX: 9$ . Mensaje modificado por iMPuRe el Apr 22 2007, 07:09 PM -------------------- 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373 1381 1399 1409 1423 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iMPuRe Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 22 2007, 07:09 PM Publicado: #5
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 193 Registrado: 22-March 07 Desde: San Miguel, Santiago Miembro Nº: 4.651 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	R2 Notemos los angulos, copiemos el $TEX: $\triangle ABK$$ en $TEX: $AD$$ , notemos que el $TEX: $\triangle AK'M$$ es isoceles en $TEX: $K'$$ con lo que se prueba lo pedido. -------------------- 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 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S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 23 2007, 08:40 AM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Ya tenemos la prueba resuelta en su totalidad. Por razones de tiempo, sólo he leído las primeras dos soluciones: están perfectas, lo que implica (entre otras cosas) que se entienden bien... Confirmen o desmientan lo que estoy pensando, pero el segundo problema es una vulgar copia de un problema en algún lado (mas no recuerdo de dónde). El primer problema lo propuse yo, fue algo que se me ocurrió durante las "vacaciones", no tan complicado, y que no recordaba haberlo visto en algún lado Saludos -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 23 2007, 04:41 PM Publicado: #7
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(xsebastian @ Apr 23 2007, 09:40 AM) Ya tenemos la prueba resuelta en su totalidad. Por razones de tiempo, sólo he leído las primeras dos soluciones: están perfectas, lo que implica (entre otras cosas) que se entienden bien... Confirmen o desmientan lo que estoy pensando, pero el segundo problema es una vulgar copia de un problema en algún lado (mas no recuerdo de dónde). El primer problema lo propuse yo, fue algo que se me ocurrió durante las "vacaciones", no tan complicado, y que no recordaba haberlo visto en algún lado Saludos Absolutamente de acuerdo, las malas lenguas dicen que el P2 de esta prueba es un conocidísimo problema de la OMA. Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

iMPuRe Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 23 2007, 07:16 PM Publicado: #8
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 193 Registrado: 22-March 07 Desde: San Miguel, Santiago Miembro Nº: 4.651 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Killua @ Apr 23 2007, 05:41 PM) Absolutamente de acuerdo, las malas lenguas dicen que el P2 de esta prueba es un conocidísimo problema de la OMA. Saludos Pretorneo Internacional de las Ciudades. Primer Pretorneo 1998. 16 de Abril de 1998. Nivel Juvenil. Problema 3. En un cuadrado ABCD, K es un punto del lado BC y la bisectriz del ángulo KAD corta al lado CD en M. Demostrar que AK=DM+BK. (4 puntos) http://www.oma.org.ar/enunciados/ptic981.htm Es mas... en una guia por ahi que se titulaba "GUIA TRABAJO CLASE Nº 1, INTRODUCCION A PROBLEMAS DE OLIMPIADAS" es el Problema 9. Mensaje modificado por iMPuRe el Apr 23 2007, 07:18 PM -------------------- 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373 1381 1399 1409 1423 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9931 9941 9949 9967 9973 10007

xuncoco Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 18 2008, 04:19 AM Publicado: #9
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 40 Registrado: 14-January 08 Desde: Estadio Maracaná, Río de Janeiro, y en Chile. Miembro Nº: 14.654 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \noindent \textbf{P1 Solución:}\\<br />\\<br />Sean $x_1, \dots ,x_9$ los números distribuídos por A, tales que $x_i$ está en la posición $i$, con $x_i \in \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \} \ \forall i=0,1,\dots,9$ (todos los $x_i$ distintos).\\<br />\\<br />Una vez puestos los números, llega B y escribe los signos obteniendo el mínimo valor de la suma. Luego, dicha suma mínima está dada por:\\<br />\\<br />$S=x_1+min \{ P,Q \} -max \{ P,Q \}$\\<br />donde $P=x_2+x_4+x_6+x_8$ y $Q=x_3+x_5+x_7+x_9$\\<br />\\<br />Entonces A debe distribuir los números nuevamente para obtener el máximo valor.\\<br />\\<br />Como $x_1$ es siempre positivo su valor debe ser igual al mayor número, es decir, $x_1=9$.\\<br />Para encontrar el máximo valor de $S$, necesitamos darle nuevos valores a $x_2,\dots,x_9$ de modo que $P$ sea máximo y que $Q$ sea mínimo, y $S$ tenga la forma $S=x_1+P-Q$. Para obtener los $P$ y $Q$ que queremos, hacemos...\\<br />\\<br />$x_2=5,x_4=6,x_6=7,x_8=8$\\<br />$x_3=1,x_5=2,x_7=3,x_9=4$\\<br />\\<br />Y el valor de $S$ es...\\<br />\\<br />$S=x_1+P-Q=9+(5+6+7+8)-(1+2+3+4)=25$<br />$ Mensaje modificado por xuncoco el Apr 19 2008, 10:44 AM -------------------- pato style...

xuncoco Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 19 2008, 10:57 AM Publicado: #10
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 40 Registrado: 14-January 08 Desde: Estadio Maracaná, Río de Janeiro, y en Chile. Miembro Nº: 14.654 Nacionalidad: Sexo:	CITA(=3fR4= @ Apr 22 2007, 07:08 PM) Ahora bien, el signo ± representa la desicion de B, pero como este desea obtener el menor valor posible en el resultado, siempre partira con un signo (que van alternados), de tal forma que el resultado de ±\|P-Q\| sea negativo, luego, el resultado simplemente será: r=x1-\|P-Q\| es verdad que B elige que el resultado de ±\|P-Q\| sea negativo, pero no sabes si P>Q o Q>P. el signo que elegiste tú fue para P>Q, porque para Q>P tienes que P-Q es negativo, luego debes poner "+". CITA(iMPuRe @ Apr 22 2007, 08:01 PM) notemos que si $TEX: x$ es diferente de $TEX: 0$ , $TEX: B$ siempre puede hacer que el resultado sea menor que $TEX: 9$ , pero si $TEX: x=0$ no, ósea este caso maximiza. ¿y no puedes hacer x positivo? ¿por qué tiene que ser 0? saludos, cuates revisen mi solución =D -------------------- pato style...

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