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2º Nivel Individual, Sedes Santiago, Talagante y Rancagua

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The Lord Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 28 2007, 07:51 PM Publicado: #11
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 374 Registrado: 16-September 06 Desde: New Haven, CT, USA. Miembro Nº: 2.275 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Killua @ Apr 27 2007, 09:20 PM) PD: que The Lord postee el dos CITA(Killua @ Apr 28 2007, 08:29 PM) Saludos, y que The Lord postee el dos A pedido de Killua (¬¬) posteo el 2: $TEX: \noindent $a)$ $1 - \dfrac{1}{{1 - \dfrac{1}{{1 - \dfrac{1}{x}}}}} = 1 - \dfrac{1}{{1 - \dfrac{x}{{x - 1}}}} = 1- \dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = 1 + x - 1 = x$\\<br />$b)$ Veamos que al hacer el proceso pedido ($ABABAB$...), llegamos a un ciclo:\\<br />$x\xrightarrow{A}\dfrac{1}{x}\xrightarrow{B}1 - \dfrac{1}{x}\xrightarrow{A}\dfrac{1}{{1 - \dfrac{1}{x}}}\xrightarrow{B}1 - \dfrac{1}{{1 - \dfrac{1}<br />{x}}}\xrightarrow{A}\dfrac{1}{{1 - \dfrac{1}{{1 - \dfrac{1}{x}}}}}\xrightarrow{B}1 - \dfrac{1}{{1 - \dfrac{1}{{1 - \dfrac{1}{x}}}}} = x$\\<br />Luego este ciclo se repite cada 6 operaciones. Recordando que $2007=334\cdot 6+3$:\\<br />$\underbrace {ABABAB}_{1ciclo}\underbrace {ABABAB}_{1ciclo}\underbrace {ABABAB}_{1ciclo}...\underbrace {ABABAB}_{1ciclo}ABA$\\<br />Luego el problema se reduce a analizar estos tres ultimos procesos:\\<br />$x\xrightarrow{A}\dfrac{1}<br />{x}\xrightarrow{B}1 - \dfrac{1}<br />{x}\xrightarrow{A}\dfrac{1}<br />{{1 - \dfrac{1}<br />{x}}}$\\<br />Luego:\\<br />$\dfrac{1}{{1 - \dfrac{1}{x}}}=2007 \Rightarrow x=\dfrac{2007}{2006}$\\<br />Finalmente el n\'umero que estaba al principio era $\dfrac{2007}{2006}$<br /><br />$ Saludos

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 29 2012, 02:39 PM Publicado: #12
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Sexta solución al problemita Saludos. -------------------- Me voy, me jui.

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