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i3 topología

febomon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 9 2012, 09:24 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 448 Registrado: 27-January 08 Miembro Nº: 15.045 Nacionalidad: Sexo:	Ejericio 2: Sean X un espacio topologico Haussdorff localmente compacto y x un punto de X. Muestre que las vecindades compactas de x formar una base de vecindades dle punto. Ejercicio 3: Sea X un espacio topologico Haussdorff. Demostrar que X es compacto numerable ssi toda sucesión de puntos de X tiene un punto de acumulación. Deducir de lo anterior que si X es pseudocompacto y normal, entonces es compacto numerable. Ejercicio 4: Sean X e Y dos espacios topologicos. Muestre que: (a) Si X e Y son homeomorfos entonces son homotopicamente equivalentes. (b) Si X es contractible, entonces es Arco-conexo. Determine si el reciproco de (a) es cierto Ejericio 5: Sean X e Y dos espacios topologicos (no vacios), X haussdorff. Se considera el espacio C(X,Y) de las funciones continuas de X a Y con la topología compacto abierta. Muestre que C(X,Y) es Haussdorff ssi Y lo es.

febomon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 9 2012, 09:25 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 448 Registrado: 27-January 08 Miembro Nº: 15.045 Nacionalidad: Sexo:	El problema uno era ,ostrar que el conjunto de cantor era no vacio, me dio lata escribirlo ajajja si alguien quiere el enunciado textual lo escribo. La segunda parte del problema 3 era muy buena, ojalá que alguien se anime Saludos Mensaje modificado por febomon el Dec 9 2012, 09:26 PM

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 9 2012, 09:38 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	el ejercicio 5!!!! más clásico por favor PD: no te creo que ese fue el P1 O.o o sea en definitiva la prueba fue un regalo para los buenos lectores; para los malos fue un interesante desafío. -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

febomon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 9 2012, 09:56 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 448 Registrado: 27-January 08 Miembro Nº: 15.045 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Kaissa @ Dec 10 2012, 11:08 AM) el ejercicio 5!!!! más clásico por favor PD: no te creo que ese fue el P1 O.o o sea en definitiva la prueba fue un regalo para los buenos lectores; para los malos fue un interesante desafío. weno es vdd lo que dices salvo en la p3, que si era bien difícil que se te ocurriera una solución para la segunda parte.

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 10 2012, 09:44 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Quieres apostar? buenos lectores rulez 1313 -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

febomon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 10 2012, 01:54 PM Publicado: #6
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 448 Registrado: 27-January 08 Miembro Nº: 15.045 Nacionalidad: Sexo:	weno nunca lo habia visto antes. Entonces me declaro un mal lector de wikipedia. Saludos

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 10 2012, 02:00 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(febomon @ Dec 10 2012, 01:54 PM) weno nunca lo habia visto antes. Entonces me declaro un mal lector de wikipedia. Saludos eso fue al hígado ¬¬ en too caso hay sitios como ese donde hay preguntitas respondidas (AoPS, MHF, etc) -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 27 2022, 09:37 PM Publicado: #8
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	p2 $TEX: Sea $U$ un abierto de $x$. Se tiene que existe una vecindad $V$ de $x$ tal que $\text{cl}(V)$ es compacto. Podemos suponer que $V$ es abierto. Para cada $y\in \text{cl}(V)\setminus (U\cap V)$, existe un abierto de $y$, $U_y$ y un abierto de $x$, $U_y^x$ tal que $U_y\cap U_y^x = \emptyset$ (pues $X$ es Hausdorff). Luego $\{U\cap V\}\cup\{U_y\}_{y\in \text{cl}(V)\setminus (U\cap V)}$ recubre $\text{cl}(V)$, luego por compacidad existen $y_1,...,y_n\in \text{cl}(V)\setminus (U\cap V)$ tales que $$ \text{cl}(V)\subset (U\cap V)\cup\bigcup_{i=1}^n U_{y_i}. $$ Entonces, tomamos el abierto $O := U\cap V\cap \bigcap_{i=1}^n U_{y_i}^x$ (donde $x\in O$). Notar que $\text{cl}(O)\subset \text{cl}(V)$, por lo tanto $\text{cl}(V)$ es una vecindad compacta de $x$. Veamos que $\text{cl}(O)\subset U$, en efecto, <br />\begin{align}<br />\text{cl}(O) &\subset \text{cl}(U)\cap \text{cl}(V)\cap \bigcap_{i=1}^n\text{cl}(U_{y_i}^x)\\<br />&\subset \text{cl}(U)\cap\bigcap_{i=1}^n\text{cl}(U_{y_i}^x)\cap \left((U\cap V)\cup\bigcup_{i=1}^n U_{y_i}\right)\\<br />&\subset \left(\text{cl}(U)\cap\bigcap_{i=1}^n\text{cl}(U_{y_i}^x)\cap U\cap V\right)\cup \underbrace{\left(\text{cl}(U)\cap\bigcap_{i=1}^n\text{cl}(U_{y_i}^x)\cap \bigcup_{i=1}^n U_{y_i}\right)}_{=\emptyset}\subset U<br />\end{align}<br />lo que prueba que las vecindades compactas de $x$ forman una base de vecindades de $x$. $\square$<br />$ p5 $TEX: Definimos $\mathcal{E}(U,K) := \{f\in C(X,Y)\colon f(K)\subset U\}$ para cada $K$ compacto de $X$ y $U$ abierto de $Y$. Suponemos que $C(X,Y)$ es Hausdorff. Sean $y_1,y_2\in Y$ con $y_1\neq y_2$. Definimos las funciones $f_1(x) = y_1$ para todo $x\in X$ y $f_2(x) = y_2$ para todo $x\in X$. Claramente $f_1,f_2\in C(X,Y)$ y $f_1\neq f_2$. Luego, existe un abierto $V_1$ de $f_1$ y un abierto $V_2$ de $f_2$ tales que $V_1\cap V_2=\emptyset$. Entonces podemos suponer que $V_1 = \bigcap_{i=1}^n \mathcal{E}(U_i^1,K_i^1)$ y $V_2 = \bigcap_{j=1}^m\mathcal{E}(U_j^2,K_j^2)$. Tomemos $U_1 := \bigcap_{i=1}^n U_i^1$ y $U_2 := \bigcap_{j=1}^m U_j^2$, que son abiertos de $y_1$ e $y_2$, respectivamente. Supongamos que existe $y\in U_1\cap U_2$, luego la función $f\equiv y$ pertenece a $V_1\cap V_2$, lo que contradice que este conjunto sea vacío. Luego $U_1\cap U_2=\emptyset$, lo que prueba que $Y$ es Hausdorff.\\<br /><br />Recíprocamente, suponemos que $Y$ es Hausdorff. Sean $f_1,f_2\in C(X,Y)$ tales que $f_1\neq f_2$. Luego existe $x\in X$ tal que $f_1(x)\neq f_2(x)$, entonces existe una vecindad $U_x^1$ de $f_1(x)$ y $U_x^2$ de $f_2(x)$ con $U_x^1\cap U_x^2=\emptyset$. Entonces vemos que $\mathcal{E}(U_x^1,\{x\})$ es una abierto de $f_1$, $\mathcal{E}(U_x^2,\{x\})$ es un abierto de $f_2$ y $\mathcal{E}(U_x^1,\{x\})\cap \mathcal{E}(U_x^2,\{x\})=\emptyset$, lo que prueba que $C(X,Y)$ es Hausdorff. $\square$$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

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