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Rioplatense 2012, Olimpiadas

viterick2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 9 2012, 04:19 PM Publicado: #1
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 12 Registrado: 1-May 08 Desde: Trujilllo - Peru Miembro Nº: 21.772 Nacionalidad: Sexo:	http://www.scribd.com/doc/116066032/XXI-Ol...ciembre-de-2012

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 9 2012, 04:36 PM Publicado: #2
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Excelente aporte, a aportar con soluciones! PD: veo algunos ejercicios "familiares" -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Laulieth´ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 12 2012, 12:48 AM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 233 Registrado: 21-February 12 Desde: Cerro Navia, Santiago - Valparaíso Miembro Nº: 101.376 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Aporto con uno Aprovechando que la película que estoy bajando no termina nunca xD Transcribiré el problema y pondré la solución en spoiler para que se vea más ordenadito $TEX: Nivel 3, primer día.<br /><br />Problema 1$ $TEX: Diremos que un entero positivo n es apocalíptico si entre sus divisores positivos hay seis distintos cuya suma es 3528. Por ejemplo, 2012 es apocalíptico, pues sus seis divisores 1,2,4,503,1006 y 2012 sumados dan 3528. Determine cuál es el menor entero positivo apocalíptico.$ $TEX: Solución:$ Primero, denotemos a los seis divisores positivos como $TEX: \[d_1,d_2,d_3,d_4,d_5,d_6\]<br />$ con $TEX: \[d_1\neq d_2\neq d_3\neq d_4\neq d_5\neq d_6\]<br />$ . Además podemos asumir que $TEX: \[d_1> d_2> d_3> d_4> d_5> d_6\]<br />$ (sin perder generalidad, por supuesto). De esto se sigue que $TEX: \[d_1\leq n,d_2\leq n/2,d_3\leq n/3,d_4\leq n/4,d_5\leq n/5\]<br />$ y $TEX: \[d_6\leq n/6\]<br />$ . Si sumamos estas seis desigualdades se tiene que $TEX: \[d_1+d_2+d_3+d_4+d_5+d_6\leq 147n/60= 49n/20\]<br />$ . Notar además que por enunciado se tiene que $TEX: \[d_1+d_2+d_3+d_4+d_5+d_6=3528\]<br />$ . Luego, de esto se sigue que $TEX: \[3528\leq 49n/20\]<br />$ entonces $TEX: \[n\geq 1440\]<br />$ . Creo no haberme mandado ningún fail xD. En todo caso, queda a juicio de la audiencia. Saludos --------------------

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 12 2012, 01:00 PM Publicado: #4
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Laulieth´ @ Dec 12 2012, 12:48 AM) Aporto con uno Aprovechando que la película que estoy bajando no termina nunca xD Transcribiré el problema y pondré la solución en spoiler para que se vea más ordenadito $TEX: Nivel 3, primer día.<br /><br />Problema 1$ $TEX: Diremos que un entero positivo n es apocalíptico si entre sus divisores positivos hay seis distintos cuya suma es 3528. Por ejemplo, 2012 es apocalíptico, pues sus seis divisores 1,2,4,503,1006 y 2012 sumados dan 3528. Determine cuál es el menor entero positivo apocalíptico.$ $TEX: Solución:$ Primero, denotemos a los seis divisores positivos como $TEX: \[d_1,d_2,d_3,d_4,d_5,d_6\]<br />$ con $TEX: \[d_1\neq d_2\neq d_3\neq d_4\neq d_5\neq d_6\]<br />$ . Además podemos asumir que $TEX: \[d_1> d_2> d_3> d_4> d_5> d_6\]<br />$ (sin perder generalidad, por supuesto). De esto se sigue que $TEX: \[d_1\leq n,d_2\leq n/2,d_3\leq n/3,d_4\leq n/4,d_5\leq n/5\]<br />$ y $TEX: \[d_6\leq n/6\]<br />$ . Si sumamos estas seis desigualdades se tiene que $TEX: \[d_1+d_2+d_3+d_4+d_5+d_6\leq 147n/60= 49n/20\]<br />$ . Notar además que por enunciado se tiene que $TEX: \[d_1+d_2+d_3+d_4+d_5+d_6=3528\]<br />$ . Luego, de esto se sigue que $TEX: \[3528\leq 49n/20\]<br />$ entonces $TEX: \[n\geq 1440\]<br />$ . Creo no haberme mandado ningún fail xD. En todo caso, queda a juicio de la audiencia. Saludos Para concluir.... 1440 es apocalíptico? Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Laulieth´ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 12 2012, 02:01 PM Publicado: #5
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 233 Registrado: 21-February 12 Desde: Cerro Navia, Santiago - Valparaíso Miembro Nº: 101.376 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Cuando lo postié era muy tarde ajja. Excelente alcanze Killua Desde luego que $TEX: 1440$ es $TEX: apocalíptico$ . Basta considerar los siguientes seis divisores del número en cuestiíon : $TEX: 1440,720,360,288,480 y 240$ y comprobar fácilmente que su suma es efectivamente $TEX: 3528$ . Saludos --------------------

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