Examen 2012/2 - Foro fmat.cl

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Examen 2012/2, Es el examen, entra todo (?)

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JanKss Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 4 2012, 08:31 PM Publicado: #1
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 11 Registrado: 19-July 12 Miembro Nº: 109.165 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Invito a la comunidad a publicar soluciones del examen, eso P1 (3.0 ptos.) Si $TEX: $f(x)=\ln(x^2+1)$$ , calcule $TEX: $\displaystyle \int^1_0 (x-1)^2f'''(x)dx$$ Indicación: No calcule $TEX: $f'''(x)$$ . Sea $TEX: $f$$ la funcion definida por $TEX: $\displaystyle f(x)=\int^{2x}_x \frac{dt}{\sqrt{t^4+t^2+2}} $$ 1) (1,5 ptos.) Demuestre que $TEX: $f$$ es una funcion impar. Calcule $TEX: $f'(x)$$ . 2) (1,5 ptos.) Estudie los intervalos donde $TEX: $f$$ crece y decrece e indique puntos de máximo y mínimos de $TEX: $f$$ . P2 Sea probar que si $TEX: $\alpha >0$$ , entonces $TEX: $[ e^x > x^{\alpha}, x>0 \Leftrightarrow \alpha < e ]$$ . Para ello: (0,5 ptos.) Demuestre directamente la implicancía hacia la dereche (\Rightarrow ). (1,3 ptos.) Para demostrar la reciproca considere la funcion $TEX: $g(x)=\frac{e^x}{x^{\alpha}}$$ , para $TEX: $x>0$$ , y pruebe que $TEX: $g$$ alcanza su mínimo en $TEX: $x=\alpha$$ . (1,2 ptos.) Estudie el mínimo global de $TEX: $g$$ y concluya. (3.0 ptos.) Sea $TEX: $P(a,b)$$ un punto del primer cuadrante sobre la curva $TEX: $C$$ de ecuación $TEX: $xy=xy=x-y$$ . Considere las regiones $TEX: $R_1$$ limitada por $TEX: $C$$ , el eje $TEX: $X$$ y la recta $TEX: $x=a$$ , y $TEX: $R_2$$ limitada por $TEX: $C$$ , el $TEX: $Y$$ y la recta $TEX: $y=b$$ . Pruebe que el volumen del sólido que se obtiene al rotar $TEX: $R_1$$ en torno al eje $TEX: $X$$ es igual al volumen del sólido que se obtiene al rotar $TEX: $R_2$$ en torno al eje $TEX: $Y$$ . P3 (1,5 ptos.) Estudie la convergencia de $TEX: $\displaystyle \int^\infty_0 e^{-x}\frac{sen(x)}{x} dx$$ Indicación: Estudie la convergencia absoluta. (1,5 ptos) Determine para que valores del parámetro $TEX: $\alpha \in \mathbb{R}$$ , la serie $TEX: $\displaystyle f(x)=\sum^\infty_{1} \frac{\sqrt{n!}}{n^{n\alpha}}$$ converge. El desarrollo en serie para cierta funcion $TEX: $f$$ es $TEX: $\displaystyle f(x)=\sum^\infty_1 \frac{(2x)^n}{n}$$ (1,0 pto.) Encuentre el radio e intervalo de convergencia de la serie (analice los extremos). (0,7 ptos.) Determine la serie que representa $TEX: $f'(x)$$ y presentela como funcion conocida (serie geométria). (0,8 ptos.) Determine, por integracion, $TEX: $f(x)$$ , calculando el valor de la constante de integracion usando un valor adecuado de $TEX: $x$$ . (0,5 ptos.) Aproveche (iii) para calcular el valor de la serie numérica $TEX: $\sum^\infty_1 (-1)^n \frac{1}{n}$$ .

E.Rodriguez Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 4 2012, 08:32 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 539 Registrado: 21-January 11 Desde: Santiago - Osorno - Chile Miembro Nº: 83.254 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	fui a darme una vuelta después del examen y la cara de muerte no se la podían quitar los cabros =( -------------------- Esteban A. Rodríguez M. Ex- alumno Generación 2011 Colegio San Mateo-Osorno "Por muy larga que sea la tormenta, el sol siempre vuelve a brillar entre las nubes" - Khalil Gibran

Hugolo777 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 4 2012, 08:46 PM Publicado: #3
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 174 Registrado: 16-April 11 Desde: Rancagua Miembro Nº: 87.191 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	No era difícil pero era una maratón a mi parecer xD, o quizás me extendí mucho explicando las hipótesis. Me motivaría a dar soluciones pero no quiero pensar más por hoy --------------------

GaloFelipe Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 4 2012, 09:09 PM Publicado: #4
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 160 Registrado: 3-April 11 Miembro Nº: 86.218 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	cuanto tiempo les dan para contestar este examen?? está bastante largo.. --------------------

mono_16 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 4 2012, 09:31 PM Publicado: #5
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 10 Registrado: 30-April 11 Miembro Nº: 87.967 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(GaloFelipe @ Dec 4 2012, 09:09 PM) cuanto tiempo les dan para contestar este examen?? está bastante largo.. 3 horas

ToothyXbb Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 4 2012, 10:47 PM Publicado: #6
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 12 Registrado: 23-June 11 Miembro Nº: 90.915 Nacionalidad: Sexo:	La pauta esa siendo realizada en el foro de la seccion 5 de u-cursos --------------------

destroyer Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 4 2012, 10:57 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 576 Registrado: 24-November 11 Miembro Nº: 97.702 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Igual está piola... Un poco tediosa desde la P.2.b. Ojalá les haya ido bien, es vital pasar este ramo porque abre muchas puertas a los ramos siguientes!

Crash! Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 5 2012, 12:21 AM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 929 Registrado: 22-June 08 Desde: Santiago Miembro Nº: 27.979 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Está piola, lo jodido era la P2 nomas -------------------- Ex-Electrico Usach 2008 Mechón Injenieria 2009 Tengo Sed.

Shine Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 5 2012, 12:55 AM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.255 Registrado: 22-February 08 Miembro Nº: 15.777 Sexo:	Estaba más extenso que los controles pasados, pero como dijeron, estaba piola en general

~Felipao~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 6 2012, 01:20 PM Publicado: #10
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 40 Registrado: 6-March 11 Desde: S=33º31'46.49''/W=70º36'41.86'' Miembro Nº: 84.392 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Más que dificultad de los ejercicios era una examen contra el tiempo. para la P2.b) así lo hize: Integramos por disco sobre el eje x: $TEX: $ V_{R1}=\pi \int_{0}^{a}(\frac{x}{x+1})^{2}dx $$ Y también por disco sobre el eje y(encontrando la inversa): $TEX: $ V_{R2}=\pi \int_{0}^{b}(\frac{y}{1-y})^{2}dy $$ luego hacemos el cambio de variable: $TEX: $ u=\frac{x}{x+1}\rightarrow du=\frac{dx}{(x+1)^{2}}\: \: \:; x^{2}=(\frac{u}{1-u})^{2},\: \: \:evaluando :\: \: \: \: u=\frac{a}{a+1}=b $$ en efecto: $TEX: $ V_{R1}=\int_{0}^{b}(\frac{u}{1-u})^{2}du =V_{R2} $$ -------------------- Mechón 2012

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