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Control 3 2012/2, Curvas, integrales impropias

JanKss Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 18 2012, 10:19 AM Publicado: #1
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 11 Registrado: 19-July 12 Miembro Nº: 109.165 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P1 Considere la curva $TEX: $\Gamma$$ parametrizada por $TEX: $r(t)=(e^{-t}sen(t),e^{-t}cos(t),e^{-t}) \ \ t \ \epsilon \ [0,\infty)$$ (1,0 pto.) Muestre que $TEX: $\Gamma$$ es una curva reguar y calcule su longitud total. (5,0 ptos.) Calcule los vectores $TEX: T, \ N, \ B,$ la curvatura $TEX: $\kappa (t)$$ y la torsion $TEX: $\tau (t)$$ en cualquier punto de $TEX: $\Gamma$$ . P2 (1,5 ptos.) Demuestre que $TEX: $\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{cos(x)}{x^{1/2}+x^{2}} dx$$ es absolutamente convergente. (1,5 ptos.) Dada la integral $TEX: $\displaystyle \int_0^1 \text{ln}(\frac{1}{1-x}) dx$$ identifique su especie y calcúlela usando definición. Decida si converge. (3,0 ptos.) Calcule la integral impropia mixta $TEX: $\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{\text{ln} x}{x^2 + a^2} dx$$ donde $TEX: $a>0$$ , fijo, separándola como $TEX: $\int_0^a + \int_a^{\infty}$$ y usando en cualquiera de ellas la sustitución $TEX: $x=\frac{a^2}{y}$$ . P3 (2,0 ptos.) Calcular la masa de un alambre cuya forma está dada por la curva $TEX: $r(t)=(t,t^2,t^3), \ t \ \epsilon \ [0,2]$$ y cuya densidad en cada punt es $TEX: $\rho = \rho (x,y,z) = 2x + 9z$$ . (2,0 ptos.) Calcule la longitud de la cardioide $TEX: $\rho (\theta) = R(1+cos(\theta)), \ R>0$$ . (2,0 ptos.) Dada la cardioide $TEX: $\rho (\theta) = R-2Rsen(\theta), R>0$$ , se pide calcular el área de la región achurada(ver figura). figura.png ( 6.8k ) Número de descargas: 4 Indicación: Encuentre $TEX: $\theta_0$$ tal que $TEX: $\rho (\theta) = 0$$ .

Mirko DHP Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 18 2012, 10:52 AM Publicado: #2
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 179 Registrado: 1-May 09 Desde: Santiago Miembro Nº: 50.020 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	La P1 toy seguro que la vi cuando di el ramo en controles pasado xD. La P3 es muy estandar P2 tampoco la veo muy pelua. Bastante estandar el control la verdad xD, nada del otro mundo. --------------------

Shine Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 18 2012, 05:23 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.255 Registrado: 22-February 08 Miembro Nº: 15.777 Sexo:	Largo el control pero estaba palta, un salvavidas xd

Crash! Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 18 2012, 06:54 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 929 Registrado: 22-June 08 Desde: Santiago Miembro Nº: 27.979 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Básicamente el que se preocupó de estudiar le fue bien xD -------------------- Ex-Electrico Usach 2008 Mechón Injenieria 2009 Tengo Sed.

escroto Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 18 2012, 07:23 PM Publicado: #5
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 12 Registrado: 17-July 12 Desde: En tu pieza Miembro Nº: 109.070 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	igual penca que esté cada vez más fácil penita por los más viejones que de verdad la sufrian -------------------- Yo manejo el inframundo

JesterLalo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 22 2012, 10:11 AM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 553 Registrado: 29-July 10 Miembro Nº: 74.771 Nacionalidad: Sexo:	yo no lo encontré tan fácil, por el hecho de que no había estudiado -pensé que no entraría- la carioide de la P3, si todos cren que está taaaaaaaaaan fácil supongo que todos se sacarían un 7 en esta prueba jajaja, yo me saqué un 54 por eso no puedo decir que estuvo fácil si no me habría ido mejor jaja --------------------

manzanin	Nov 22 2012, 12:43 PM Publicado: #7
Invitado	CITA(JesterLalo @ Nov 22 2012, 10:11 AM) yo no lo encontré tan fácil, por el hecho de que no había estudiado -pensé que no entraría- la carioide de la P3, si todos cren que está taaaaaaaaaan fácil supongo que todos se sacarían un 7 en esta prueba jajaja, yo me saqué un 54 por eso no puedo decir que estuvo fácil si no me habría ido mejor jaja qué onda, si la weá es puro calcule es llegar y reemplazar concuerdo absolutamente con escroto

JanKss Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 24 2012, 09:20 PM Publicado: #8
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 11 Registrado: 19-July 12 Miembro Nº: 109.165 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	La verdad el control estaba facil, solo era largo y muy pajero, y ya que nadie se movio con ninguna solucion, la dejo. Puede servirle a alguien P1 P1.i $TEX: \noindent$\displaystyle \frac { d }{ dt } r(t)=\begin{pmatrix} -e^{ -t }sin(t)+e^{ -t }cos(t) \\ -e^{ -t }cos(t)-e^{ -t }sin(t) \\ -e^{ -t } \end{pmatrix} \\<br />\left\\| \frac { d }{ dt } r(t) \right\\| = \sqrt{(-e^{ -t }sin(t)+e^{ -t }cos(t))^2+(-e^{ -t }cos(t)-e^{ -t }sin(t))^2+(-e^{-t})^2} \\ = e^{-t} \sqrt{3} \\<br />\Rightarrow \text{r(t) es regular porque } \forall t \ \epsilon \ \mathbb{R} , \left\\| \frac { d }{ dt } r(t) \right\\| >0 \\<br />\displaystyle L(\Gamma (t) ) = \sqrt{3} \int_0^\infty e^{-t} =\lim_{x \to \infty} \sqrt{3} \int_0^x e^{-t} =\sqrt{3} \lim_{x \to \infty} e\|^0_x = \sqrt{3}$$ P1.ii $TEX: \noindent $\displaystyle T= \frac{ \frac{dr}{dt}}{\frac{ds}{dt}}= \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} -sin(t)+cos(t) \\ -cos(t)-sin(t) \\ -1 \end{pmatrix} \\<br />\frac{dT}{dt} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} -cos(t)-sin(t) \\ sin(t)-cos(t) \\ {0} \end{pmatrix} \\<br />\left \\| \frac{dT}{dt} \right \\| =\frac{\sqrt{2}}{ \sqrt{3}} \\<br />N= \frac{ \frac{dT}{dt}}{ \left \\| \frac{dT}{dt} \right \\| } = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -cos(t)-sin(t) \\ sin(t)-cos(t) \\ {0} \end{pmatrix} \\<br />B=T \times N = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} -sin(t)+cos(t) \\ -cos(t)-sin(t) \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -cos(t)-sin(t) \\ sin(t)-cos(t) \\ {0} \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} sin(t) -cos(t) \\ cos(t)+sin(t) \\ 2 \end{pmatrix} \\ <br />\kappa (t) = \frac{ \left \\| \frac{dT}{dt} \right \\|}{\frac{ds}{dt}} = \frac{\sqrt{2}}{3} e^t \\<br />\frac{dB}{ds} = -\tau N \\<br />\Leftrightarrow \frac{\frac{dB}{dt}}{s'} = \frac{e^t}{\sqrt{18}} \begin{pmatrix} sin(t)+cos(t) \\ cos(t)-sin(t) \\ {0} \end{pmatrix} = -\left ( \frac{e^t}{3} \right ) \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -cos(t)-sin(t) \\ sin(t)-cos(t) \\ {0} \end{pmatrix} \\<br />\Rightarrow \tau (t) = \frac{e^t}{3}$$ P2 P2.i $TEX: \noindent $\displaystyle \int_0^\infty \frac{cos(x)}{\sqrt{x} + x^2} dx= \int_0^1 \frac{cos(x)}{\sqrt{x} + x^2} dx + \int_1^\infty \frac{cos(x)}{\sqrt{x} + x^2} dx \\<br />\text{La primera integral es positiva entr 0 y 1, y por comparacion} \lim_{x \to 0} \sqrt{x} \frac{cos(x)}{\sqrt{x}+x^2} =1 \neq 0 \\ \Rightarrow \int_0^1 \frac{cos(x)}{\sqrt{x} + x^2} dx \text{ converge dado que} \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}dx \text{ converge} \\<br />\text{ La segunda tomando el modulo y mayorando} \\<br />\int_1^\infty \left \| \frac{cos(x)}{\sqrt{x} + x^2} \right \| dx = \int_1^\infty \frac{\|cos(x)\|}{\sqrt{x} + x^2} dx \leq \int_1^\infty \frac{1}{\sqrt{x} + x^2} dx \\<br />\text{Por comparacion} \lim_{x \to \infty} x^2 \frac{1}{\sqrt{x} + x^2} =1 \neq 0 \\<br />\Rightarrow \left \| \frac{cos(x)}{\sqrt{x} + x^2} \right \| \text{converge} \\<br />\therefore \int_0^\infty \frac{cos(x)}{\sqrt{x} + x^2} \text{ es absolutamente convergente}$$ P2.ii $TEX: \noindent $\text{Esta integral es de 2° especie, dado que cuando } x \to 1\text{ el argumento tiende a infinito} \\ \displaystyle \int_0^1 \ln \left (\frac{1}{1-x} \right )dx = \int_1^0 \ln(1-x)dx \\<br />\text{tomando }u=1-x \ \ \ du=-dx \\<br />-\int_0^1 \ln(u)dx = \int_1^0 \ln(u)dx \text{. Ahora por definicion} \\<br />\lim_{t \to 0} \int_1^t \ln(u)du = \lim_{t \to 0} u \ln(u)\|^t_1 - u\|^t_1 = 1 \\<br />\therefore \text{ Converge y su valor es 1}$$ P2.iii $TEX: \noindent $\displaystyle \int_0^\infty \frac{\ln x}{a^2+x^2}dx = \int_0^a \frac{\ln x}{a^2+x^2}dx + \int_a^\infty \frac{\ln x}{a^2+x^2}dx \\<br />x=\frac{a^2}{y} \ \ \ \ \ dx=- \frac{a^2}{y^2} \ \ \text{Remplazando en la primera} \\<br />\int_0^a \frac{\ln x}{a^2+x^2}dx= \int_\infty^a \frac{\ln (\frac{a^2}{y})}{a^2+(\frac{a^2}{y})^2} \left (- \frac{a^2}{y^2} \right ) dy = \int_a^\infty \frac{\ln (a^2)-\ln (y)}{a^2+\frac{a^4}{y^2}} \left (\frac{a^2}{y^2} \right ) dy \\<br />= \int_a^\infty \frac{\ln a^2}{a^2+y^2}dy - \int_a^\infty \frac{\ln y}{a^2+y^2}dy \\ \text{ Tomando ahora } x=y \ \ \ \ dx=dy \\<br />\int_0^\infty \frac{\ln x}{a^2+x^2}dx = \int_a^\infty \frac{\ln x}{a^2+x^2}dx + \int_a^\infty \frac{\ln a^2}{a^2+x^2}dx - \int_a^\infty \frac{\ln x}{a^2+x^2}dx \\<br />\text{(No estoy completamente seguro, pero ambas integrales son iguales y como se restan)} \\<br />\int_0^\infty \frac{\ln x}{a^2+x^2}dx = \int_a^\infty \frac{\ln a^2}{a^2+x^2}dx = \frac{2 \ln a}{a^2} \int_a^\infty \frac{1}{1+(\frac{x}{a})^2}dx = \int_1^\infty \frac{1}{1+u^2}du \\<br />= \frac{2 \ln (a)}{a} \text{arctan}(x)\|^\infty_1 = \frac{2 \ln (a)}{a}(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi \ln a}{2a}$$ P3 P3.i $TEX: \noindent $\displaystyle \text{Se tiene que } M=\int^2_0 \rho (x,y,z) \left\\| r'(t) \right\\| dt \\<br />r'(t) = (1,2t,3t^2) \ \ \ \left\\| r'(t) \right\\|= \sqrt{1+4t^2 +9t^4} \ \ \ \rho= 2x + 9z\\<br />M=\int^2_0 (2t + 9t^3)\sqrt{1+4t^2 +9t^4} dt \\ u=1+4t^2 +9t^4 \ \ \ du=(8t + 36t^3)dx=4(2t+9t^3)dx \\<br />M=\frac{1}{4} \int^{161}_1 \sqrt{u} =\frac{1}{4} u^{\frac{3}{2}}\|^{161}_1 = \frac{\sqrt{161^3}-1}{4}$$ P3.ii $TEX: \noindent $\displaystyle \text{Es mas practico obtener la formula de la norma primero en polares primero, y dado que} \\ \text{no esta en el apunte ni se vio en clases debe ir explicito} \\<br />Sea \ r(\theta ) = (\rho (\theta ) cos(\theta ),\rho (\theta ) sin(\theta )) \\<br />r'= (\rho 'cos -\rho sin, \rho ' sin + rho cos) \\<br />\left\\| r' \right\\| = <br />\sqrt{(\rho 'cos -\rho sin)^2 + (\rho ' sin + \rho cos)^2} = \sqrt{\rho '^2 + \rho ^2} \\<br />\rho (\theta ) = R(1+cos(\theta )) \ \ \ \ \rho ' (\theta ) = (-Rsin(\theta )) \\<br />\Rightarrow L=2\int^\pi_0 \sqrt{ (-Rsin(\theta ))^2+ (R+Rcos(\theta ))^2} \ d\theta \\<br />= 2\int^\pi_0 \sqrt{ 2R^2 +2R^2cos(\theta )} \ d\theta = 2R\sqrt{2} \int^\pi_0 \sqrt{ 1+cos(\theta )} \ d\theta \\<br />Sea \ u=cos(\theta ) \ \ \ \ \ \ du=-sin(\theta ) d\theta=- \sqrt{1-u^2}d\theta \\<br />-2R\sqrt{2} \int^{-1}_1 \frac{\sqrt{1+u}}{\sqrt{1-u^2}}du= -2R\sqrt{2} \int^{-1}_1 \frac{1}{\sqrt{1-u}} du \\<br />=4R\sqrt{2} (\sqrt{1-u}\|^{-1}_1) = 8R$$ P3.iii $TEX: \noindent $\displaystyle \text{ Buscamos los puntos donde} \rho (\theta ) = 0<br />\rho (\theta ) = 0 \Leftrightarrow R(1-2sin(\theta ))=0 \\<br />\Rightarrow \theta = \frac{\pi }{6} \ o \ \frac{5 \pi }{6} \\<br />A=\frac{1}{2} \int^{\frac{5 \pi }{6}}_{ \frac{\pi }{6}} \rho ^2 d\theta=\frac{R^2}{2} \int^{\frac{5 \pi }{6}}_{ \frac{\pi }{6}}(1-2sin(\theta )^2) d\theta \\<br />\frac{R^2}{2} \int^{\frac{5 \pi }{6}}_{ \frac{\pi }{6}}(1-4sin(\theta ) + 4sin^2(\theta )) d\theta \\<br />= \frac{R^2}{2} \int^{\frac{5 \pi }{6}}_{ \frac{\pi }{6}}(1-4sin(\theta ) + 2(1-cos(2\theta )) d\theta \\<br />= \frac{R^2}{2} \int^{\frac{5 \pi }{6}}_{ \frac{\pi }{6}}(3-4sin(\theta ) -2cos(2\theta )) d\theta \\<br />= \frac{R^2}{2} \theta \|^{\frac{5 \pi }{6}}_{ \frac{\pi }{6}} + 2R^2cos(\theta )\|^{\frac{5 \pi }{6}}_{ \frac{\pi }{6}} - \frac{R^2}{2}sen(2\theta )\|^{\frac{5 \pi }{6}}_{ \frac{\pi }{6}} \\<br />=R^2\pi -2\sqrt{3}R^2 + \frac{\sqrt{3}R^2}{2}<br />=R^2 \left ( \pi - \frac{3\sqrt{3}}{2} \right )$$ Si me equivoque en algo, es porque esto me tomo mas tiempo del esperado y ya estaba chato Mensaje modificado por JanKss el Nov 24 2012, 09:21 PM

Shine Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 1 2012, 04:56 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.255 Registrado: 22-February 08 Miembro Nº: 15.777 Sexo:	CITA(JesterLalo @ Nov 22 2012, 10:11 PM) yo no lo encontré tan fácil, por el hecho de que no había estudiado -pensé que no entraría- la carioide de la P3, si todos cren que está taaaaaaaaaan fácil supongo que todos se sacarían un 7 en esta prueba jajaja, yo me saqué un 54 por eso no puedo decir que estuvo fácil si no me habría ido mejor jaja Loco, revisé controles (algunas P3), y los mechones no saben integrar, o no se saben bien las fórmulas, o no las saben aplicar de manera correcta. Así es imposible que les vaya bien. Respecto a la dificultad, mantengo lo dicho arriba, los ejercicios son casi iguales a los que se veían en controles anteriores, o salían ej. del mismo estilo en el apunte, no había nada nuevo bajo el sol en este control. Es más, la media de este control en una sección fue como 34, cosa que para mi gusto no debería ser (la media pudo estar fácil entre 40 y 45)... Igual 54 es una nota bastante buena, deberías alegrarte (considerando que tus fallas debieron ser puras leseras xd) Mensaje modificado por Shine el Dec 1 2012, 04:57 PM

Hugolo777 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 1 2012, 06:27 PM Publicado: #10
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 174 Registrado: 16-April 11 Desde: Rancagua Miembro Nº: 87.191 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Shine @ Dec 1 2012, 04:56 PM) Loco, revisé controles (algunas P3), y los mechones no saben integrar, o no se saben bien las fórmulas, o no las saben aplicar de manera correcta. Así es imposible que les vaya bien. Respecto a la dificultad, mantengo lo dicho arriba, los ejercicios son casi iguales a los que se veían en controles anteriores, o salían ej. del mismo estilo en el apunte, no había nada nuevo bajo el sol en este control. Es más, la media de este control en una sección fue como 34, cosa que para mi gusto no debería ser (la media pudo estar fácil entre 40 y 45)... Igual 54 es una nota bastante buena, deberías alegrarte (considerando que tus fallas debieron ser puras leseras xd) Dicen por ahí que me gané un 30 gracias a ti, en la P3 nomás me fue malazo Mensaje modificado por Hugolo777 el Dec 1 2012, 06:28 PM --------------------

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