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::..:: Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 2 2012, 05:54 PM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 110 Registrado: 26-December 10 Miembro Nº: 82.285 Nacionalidad: Sexo:	Control 2 - MAT022 Universidad Técnica Federico Santa María Problema 1 $TEX: \[<br />Sea\ \phi :\Re \to \Re\ una\ funcion\ diferenciable\ que\ satisface\ para\ todo\ x \in \Re\ la\ relacion<br />\]<br />$ $TEX: \[<br />\phi \left( x \right) + \int_0^x {\cosh \left( t \right)\phi '\left( t \right)dt} = \cosh \left( x \right)<br />\]<br />$ a) $TEX: \[<br />Determine\ \phi '\left( x \right)\ usando\ el\ teorema\ fundamental<br />\]<br />$ b) $TEX: \[<br />Determinar\ explicitamente\ la\ funcion\ \phi \left( x \right)\ y\ calcule\ tambien\ el\ valor\ de\ la\ constante<br />\]<br />$ $TEX: \[<br />de\ integracion<br />\]<br />$ Problema 2 a) $TEX: \[<br />Dado\ \vec a = \left( {1,2,3} \right),\ demuestre\ que\ W = \left\{ {\vec v \in \Re ^3 /\vec a \cdot \vec v = 0} \right\}\ es\ un\ subespacio\ vectorial\ de\ \Re ^3 <br />\]<br />$ b) $TEX: \[<br />Sea\ \vec u,\vec v\ y\ \vec w\ tres\ vectores\ linealmente\ independiente\ un\ espacio\ vectorial\ V\ sobre\ \Re.<br />\]<br />$ $TEX: \[<br />Demuestre\ que\ los\ vectores\ \vec u \ +\ 2\vec v,\ \vec u \ +\ \vec v\ -\ \vec w\ y\ 2\vec u\ -\ \vec v\ +\ 3\vec w\ son\ linealmente\ independientes<br />\]<br />$ Problema 3 $TEX: \[<br />Calcular\ el\ Area\ limitada\ por\ la\ grafica\ de\ las\ ecuaciones\ x\ =\ 1\ -\ y^4 ,\ x\ =\ y\left( {1 - y^2 } \right)<br />\]<br />$ Problema 4 $TEX: \[<br />Dados\ los\ planos\ de\ ecuaciones\ \pi _1 :2x - y + z = - 2\ y\ \pi _2 :x + z = 3<br />\]<br />$ a) $TEX: \[<br />Determine\ el\ angulo\ que\ forman\ los\ planos<br />\]<br />$ b) $TEX: \[<br />Obtenga\ la\ ecuacion\ de\ la \ recta\ l_1 \ que\ es\ paralela\ a\ ambos\ planos\ y\ que\ contiene\ al\ punto<br />\]<br />$ $TEX: \[<br />Q\left( {2, - 3,5} \right)<br />\]<br />$ --------------------

manzanin	Nov 4 2012, 08:42 PM Publicado: #2
Invitado	Vamos con la P1.a/b) Si derivamos toda la expresión con respecto a x, entonces: $TEX: $$\frac{d\varphi }{dx}+\frac{d}{dx}\int\limits_{0}^{x}{\cosh (t)\varphi '(t)dt=\frac{d}{dx}(\cosh (x))}$$$ De esto sigue que: $TEX: $$\varphi '+\cosh (x)\varphi '(x)=senh(x)\Leftrightarrow \varphi '(1+\cosh x)=senh(x)$$$ (Donde se ha aplicado el teorema fundamental del cálculo) Luego: $TEX: $$\varphi '=\frac{senh(x)}{(1+\cosh x)}$$$ Para calcular explícitamente la función pedida, separamos variables e integramos. Así: $TEX: $$d\varphi =\frac{senh(x)}{1+\cosh x}dx\to \int{d\varphi }=\int{\frac{senh(x)}{1+\cosh x}dx}$$$ Sea $TEX: $$u=1+\cosh x\to du=senh(x)dx$$$ Entonces $TEX: $$\int{\frac{senh(x)}{1+\cosh x}dx}\ =\int{\frac{du}{u}}=\ln \left\| u \right\|+C$$$ Deshaciendo el cambio de variable: $TEX: $$\varphi =\ln \left\| 1+\cosh x \right\|+C$$$ Para calcular la constante, fijemos x=0. Entonces la integral de la ecuación original se anula y queda que: $TEX: <br />$$\varphi (0)=\cosh (0)=1$$$ Finalmente, como $TEX: $$\varphi (0)=1$$$ , se tiene que $TEX: $$1=\ln \left\| \cosh (0)+1 \right\|+C\to C=1-\ln (2)$$$ Mensaje modificado por manzanin el Nov 4 2012, 08:45 PM

manzanin	Nov 8 2012, 09:47 PM Publicado: #3
Invitado	P3) Sea $TEX: $$f(y)=1-y^{4}\quad y\quad g(y)=y(1-y^{2})$$$ Igualando las dos funciones se obtiene $TEX: $$1-y^{4}=y-y^{3}\to y^{4}-y^{3}+y-1=0$$$ cuyas raíces son -1 y 1. Como en el intervalo [-1,1] se tiene que $TEX: $$f(x)\ge g(x)$$$ , el área entre curvas queda definida por: $TEX: $$\int\limits_{-1}^{1}{\left[ f(x)-g(x) \right]}dy=\int\limits_{-1}^{1}{\left( 1-y^{4}-y+y^{3} \right)}dy=\left[ y-\frac{y^{5}}{5}-\frac{y^{2}}{2}+\frac{y^{4}}{4} \right]_{-1}^{1}=\frac{8}{5}$$$ plot.png ( 9.7k ) Número de descargas: 3 Mensaje modificado por manzanin el Nov 8 2012, 09:49 PM

Coto-kun Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 27 2013, 04:15 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 427 Registrado: 5-October 10 Miembro Nº: 78.264 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Hola, si no les molesta haré el P2. Ya que ando estudiando sobre Matrices y todo eso ~~ xd Si me equivoco en algo, por favor corríjanme a) $TEX: \[Dado\;\vec{a}=(1,2,3)\;,\;demuestre\;que\;W=\{\vec{v}\in \Re ^{3}\;/\;\vec{a}\cdot \vec{v}=0\}\;es\;un\;subespacio\;vectorial\;de\;\Re ^{3}\]$ Tenemos que: $TEX: $i)\;W\neq \emptyset,\;ya\;que\;podemos\;tomar\;\vec{v}=(2,-1,0)\in \Re ^{3},\;en\;el\;cual$\\[2mm]$(1,2,3)\cdot (2,-1,0)=1\cdot 2+2\cdot (-1)+3\cdot 0=2-2=0$$ $TEX: $Tomemos\;\;\vec{v}=(x,y,z)\in W,\;\vec{u}=(x',y',z')\in W\; y\; k\in \Re,\;entonces:$$ $TEX: \[(1,2,3)\cdot (x,y,z)=x+2y+3z=0,\;\;(1,2,3)\cdot (x',y',z')=x'+2y'+3z'=0\]$ $TEX: $ii)\;\vec{v}+\vec{u}=(x+x',y+y',z+z')\in W$\\[1mm]<br />$Ya\;que:$\\[1mm]<br />$(1,2,3)\cdot (x+x',y+y',z+z')=x+x',2y+2y',3z+3z'$\\[1mm]=$(x+2y+3z)+(x'+2y'+3z')=0$$ $TEX: $iii)\;k\cdot \vec{v}=(kx,ky,kz)\in W$\\[1mm]<br />$Ya\;que:$\\[1mm]<br />$(1,2,3)\cdot (kx,ky,kz)=kx+2ky+3kz=k\cdot (x+2y+3z)=0$$ Por lo tanto es un sub-espacio vectorial de R^3 b) $TEX: $Sean\;\vec{u},\vec{v}\;y\;\vec{w},\;tres\;vectores\;linealmente\;independientes\;de\;un\;espacio\;vectorial\;V\;sobre\;\Re.$\\[1mm]<br />$Demuestre\;que\;los\;vectores:\;\vec{u}+2\vec{v},\;\vec{u}+\vec{v}-\vec{w},\;2\vec{u}-\vec{v}+3\vec{w},\;son\;linealmente\;independientes$$ Si el 0 vector, se genera como una combinación lineal trivial (todos los coeficientes iguales a 0), entonces es l.i. $TEX: $a(\vec{u}+2\vec{v})+b(\vec{u}+\vec{v}-\vec{w})+c(2\vec{u}-\vec{v}+3\vec{w})=\vec{0}$\\[2mm]<br />$\left.\begin{matrix}<br />a+b+2c=0\\ <br />2a+b-c=0\\ <br />-b+3c=0<br />\end{matrix}\right\}$$ se tiene: $TEX: $(2a+b-c)-2(a+b+2c)=0\;\;\;\rightarrow \;\;\; -b-5c=0$\\[1mm]$(-b-5c)-(-b+3c)=0\;\;\;\rightarrow \;\;\;-8c=0\;\;\;\rightarrow \;\;\;c=0$\\[1mm]$-b+3c=0\;\;\;\rightarrow \;\;\;-b=0\;\;\;\rightarrow \;\;\;b=0$\\[1mm]$a+b+2c=0\;\;\;\rightarrow \;\;\;a=0$$ $TEX: \[\therefore \;\;Son\;\;l.i\]$ Mensaje modificado por Coto-kun el Jun 27 2013, 04:36 PM --------------------

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