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Certamen ll

::..:: Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 2 2012, 05:17 PM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 110 Registrado: 26-December 10 Miembro Nº: 82.285 Nacionalidad: Sexo:	Certamen 2 - MAT022 Universidad Técnica Federico Santa María - Casa Central 1. (15 puntos) $TEX: \[<br />Encuentre\ las\ coordenadas\ de\ un\ vector\ {\rm }\vec a \in \Re ^3 \ de\ {\rm modulo }\ \sqrt 3 {\rm }\ que\ sea\ ortogonal\ a\ los<br />\]<br />$ $TEX: \[vectores\ \vec b = \hat i - \hat j \ y\ \vec c = \hat j - \hat k<br />\]<br />$ 2. (15 puntos) $TEX: \[<br />Sean\ f:\left[ { - 1,1} \right] \to \Re \ una\ funcion\ continua\ y<br />\]<br />$ $TEX: \[<br />F\left( x \right) = x^2 \int_0^{senx} {f\left( t \right)dt,\ x \in \Re } <br />\]<br />$ $TEX: \[<br />Pruebe\ que\ f\left( 0 \right) = - \frac{{F'\left( \pi \right)}}{{\pi ^2 }}<br />\]<br />$ 3. (15 puntos) $TEX: \[<br />Determine\ si\ la\ integral\ impropia\int_0^\infty {\frac{{1 - \cos x}}{{x^2 }}dx} \ converge\ o\ diverge<br />\]<br />$ 4. (15 puntos) $TEX: \[<br />Exprese,\ mediante\ integral\ (es),\ el\ area\ interior\ a\ la\ curva\ r = 1\ +\ \cos \theta\ \ y\ exterior\ a<br />\]<br />$ $TEX: \[<br />la\ curva\ r = \frac{1}{2}<br />\]<br />$ 5. (20 puntos) $TEX: \[<br />Sea\ V = \left\{ {\left( {\begin{array}{{20}c}<br /> a & b \\<br /> c & d \\<br />\end{array}} \right) \in {\rm M}_2 \left( \Re \right)/\ a + b + c = 0} \right\}<br />\]<br />$ a) $TEX: \[<br />Pruebe\ que\ V\ es\ un\ subespacio\ vectorial\ de\ {\rm M}_2 \left( \Re \right)<br />\]<br />$ b) $TEX: \[<br />Determine\ dim \left( V \right)<br />\]<br />$ 6. (20 puntos*) $TEX: \[<br />Obtener\ \int {\frac{{dx}}{{senx - \cos x + 1}}} <br />\]<br />$ --------------------

E.Rodriguez Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 2 2012, 06:42 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 539 Registrado: 21-January 11 Desde: Santiago - Osorno - Chile Miembro Nº: 83.254 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	2. (15 puntos) $TEX: \[<br />Sean\ f:\left[ { - 1,1} \right] \to \Re \ una\ funcion\ continua\ y<br />\]<br />$ $TEX: \[<br />F\left( x \right) = x^2 \int_0^{senx} {f\left( t \right)dt,\ x \in \Re } <br />\]<br />$ $TEX: \[<br />Pruebe\ que\ f\left( 0 \right) = - \frac{{F'\left( \pi \right)}}{{\pi ^2 }}<br />\]<br />$ Por el teorema fundamental del cálculo, derivando obtenemos: $TEX: $\displaystyle F'(x)=2x \int_{0}^{\mathrm{sen}\:x}f(t)dt+x^2f(\mathrm{sen}\:x)\cdot \cos x$$ Evaluando con $TEX: $x=\pi$$ $TEX: $\displaystyle F'(\pi)=2\pi \int_{0}^{0}f(t)dt+\pi^2f(0)\cdot-1$$ $TEX: $F'(\pi)=-\pi^2f(0)\Rightarrow \boxed{\dfrac{F'(\pi)}{-\pi^2}=f(0)}\:\blacksquare $$ -------------------- Esteban A. Rodríguez M. Ex- alumno Generación 2011 Colegio San Mateo-Osorno "Por muy larga que sea la tormenta, el sol siempre vuelve a brillar entre las nubes" - Khalil Gibran

E.Rodriguez Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 2 2012, 07:08 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 539 Registrado: 21-January 11 Desde: Santiago - Osorno - Chile Miembro Nº: 83.254 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(::..:: @ Nov 2 2012, 06:17 PM) 6. (20 puntos) $TEX: \[<br />Obtener\ \int {\frac{{dx}}{{senx - \cos x + 1}}} <br />\]<br />$ Usando $TEX: $u=\tan \frac{x}{2}$$ $TEX: $u=\tan \frac{x}{2}\Rightarrow 2du\cos^2 \frac{x}{2}=dx$$ Así, haciendo las equivalencias trigonométricas correspondientes (me da mucha lata hacerlas en latex): $TEX: $\cos x=\dfrac{1-u^2}{1+u^2}\:;\:\mathrm{sen}\: x=\dfrac{2u}{1+u^2} $$ Entonces la primitiva se nos reduce haciendo el trabajo algebraico pertinente a: $TEX: $\displaystyle \int\dfrac {1}{u(u+1)}du=\int \dfrac{du}{u}-\int \frac{du}{u+1}=\ln\|u\|-\ln\|u+1\|+c$$ Volviendo a la variable anterior: $TEX: $\ln\|u\|-\ln\|u+1\|+c=\ln \dfrac{u}{u+1}+c=\boxed{\ln \left (\dfrac{\tan(x/2)}{\tan(x/2)+1} \right )+c}$$ Mensaje modificado por E.Rodriguez el Nov 2 2012, 07:09 PM -------------------- Esteban A. Rodríguez M. Ex- alumno Generación 2011 Colegio San Mateo-Osorno "Por muy larga que sea la tormenta, el sol siempre vuelve a brillar entre las nubes" - Khalil Gibran

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 2 2012, 08:35 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Pa la 5, notar que ese espacio es imagen de la transformación de matrices que lleva la matriz (a b) (c d) en (p q) (r s) tal que p=a, q=b, r=-a-b, s=c. Mensaje modificado por Kaissa el Nov 3 2012, 02:52 PM -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

josemetal Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 3 2012, 02:32 PM Publicado: #5
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 147 Registrado: 11-March 12 Miembro Nº: 102.157 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(::..:: @ Nov 2 2012, 05:17 PM) 3. (15 puntos) $TEX: \[<br />Determine\ si\ la\ integral\ impropia\int_0^\infty {\frac{{1 - \cos x}}{{x^2 }}dx} \ converge\ o\ diverge<br />\]<br />$ Veamos que: $TEX: $$\int_{0}^{\infty}\frac{1-\cos(x)}{x^{2}}dx=\int_{0}^{1}\frac{1-\cos(x)}{x^{2}}dx+\int_{1}^{\infty}\frac{1-\cos(x)}{x^{2}}dx$$$ Para la primera, notese que no es impropia, ya que: $TEX: $$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{1-\cos(x)}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{1-\cos(x)}{x^{2}}\left ( \frac{1+\cos(x)}{1+\cos(x)} \right )=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{\sin^{2}(x)}{x^{2}(1+\cos(x))}=\frac{1}{2}$$$ Es decir, esta definida en 0 por continuidad. Para la segunda, consideremos la función $TEX: $$g(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{3}}}, x\geq 1$$$ Se procede a calcular : $TEX: $$\lim_{x \to \infty }\frac{\frac{1-\cos(x)}{x^{2}}}{\frac{1}{\sqrt{x^{3}}}}=<br />\lim_{x \to \infty }\frac{1-\cos(x)}{\sqrt{x}}=0$$$ Como el resultado del limite es una constante nula, entonces la convergencia de la integral impropia de la funcion g(x), implica la convergencia de nuestra integral en estudio. Pero es evidente que: $TEX: $$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x^{3}}}dx$$$ converge, (por integral p de referencia) Con lo que $TEX: $$\int_{1}^{\infty}\frac{1-\cos(x)}{x^{2}}dx$$$ converge. Finalmente se tiene que la integral: $TEX: $$\int_{0}^{\infty}\frac{1-\cos(x)}{x^{2}}dx$$$ converge. -------------------- "La libertad de uno, termina donde empieza la de otro..." Estudiante de Ingeniería Civil en Mecánica (III año) -> Ayudante de Calculo II 2°sem. 2013 -> Ayudante Ecuaciones diferenciales 1° sem. 2014 Generador de codigo Latex

josemetal Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 3 2012, 02:59 PM Publicado: #6
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 147 Registrado: 11-March 12 Miembro Nº: 102.157 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(::..:: @ Nov 2 2012, 05:17 PM) 4. (15 puntos) $TEX: \[<br />Exprese,\ mediante\ integral\ (es),\ el\ area\ interior\ a\ la\ curva\ r = 1\ +\ \cos \theta\ \ y\ exterior\ a<br />\]<br />$ $TEX: \[<br />la\ curva\ r = \frac{1}{2}<br />\]<br />$ Notemos que las curvas son pares con respecto al eje polar (X), con lo que solo basta estudiar la partes superior del mismo (y multiprlicarla por 2). La interseccion de las curvas, es en el angulo $TEX: $$\frac{2\pi}{3}$$$ . Con lo que el area pedida estara dada por la expresion: $TEX: $$A=2\left ( \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{2\pi}{3}}(1+\cos(\theta ))^{2}d\theta -\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{2\pi}{3}}\frac{1}{4}d\theta\right )$$$ PD: no se que mas desarrollo poner Mensaje modificado por josemetal el Nov 5 2012, 08:20 PM -------------------- "La libertad de uno, termina donde empieza la de otro..." Estudiante de Ingeniería Civil en Mecánica (III año) -> Ayudante de Calculo II 2°sem. 2013 -> Ayudante Ecuaciones diferenciales 1° sem. 2014 Generador de codigo Latex

Drumart Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 24 2012, 04:54 AM Publicado: #7
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3 Registrado: 5-July 12 Miembro Nº: 108.587 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	La 5 c: Mensaje modificado por Drumart el Nov 24 2012, 04:56 AM

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