Olimpiada Nacional de Matemáticas 2012 Nivel Mayor

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Olimpiada Nacional de Matemáticas 2012 Nivel Mayor, e.e

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MatíasMoreno Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 27 2012, 09:33 AM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 217 Registrado: 5-April 11 Desde: no se :c Miembro Nº: 86.300 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Olimpiada Nacional de Matemáticas Nivel Mayor Viernes 26 de octubre Problema 1. ¿Cuál es el número mínimo de movimientos que debe realizar un caballo de ajedrez, en un tablero de 8x8, para llegar al casillero superior derecho comenzando en el inferior izquierdo? Recuerde que el caballo se mueve de la manera habitual en forma de L. Problema 2. Sean $TEX: $a_1, a_2...,a_n$$ todos los números enteros positivos con 2012 cifras o menos de las cuales ninguna es un nueve. Probar que: $TEX: $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{a_k}\leq 80$$ Problema 3. Una persona ingresa a la red social facebook. Se hace amigo de al menos una persona al día durante los primeros 30 días. Al cabo de esos 30 días se ha hecho exactamente 45 amigos. Demostrar que existe una sucesión de días consecutivos donde se hizo de exactamente 14 amigos. Problema 4. Considere un triángulo isósceles ABC, donde AB=AC. D es un punto en el lado AC y P un punto en el segmento BD de manera que el angulo APC = 90 y $TEX: $\angle ABP=\angle BCP$$ . Determinar la razón AD:DC. Tiempo: 4 horas. -------------------- Cuando eliminamos lo imposible lo que queda, por improbable que parezca...siempre será la verdad... Nada tiene sentido, pero todo tiene significado.

Suicide Machine Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 27 2012, 11:03 AM Publicado: #2
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 146 Registrado: 22-July 10 Miembro Nº: 74.494 Nacionalidad: Sexo:	Solución del P3 está en el Engel's

kaedre Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 27 2012, 12:20 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 217 Registrado: 13-July 07 Desde: Chillán, Chile Miembro Nº: 7.530 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Soluciones oficiales, acá. --------------------

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 27 2012, 04:33 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Hint para matar el prob 4 como dios manda: Sea D' en AC tal que BD' es el isogonal de BD, entonces BD' contiene a la intersección de AM y PC (que llamamos K) Sorpréndase del poder de la transformación isogonal. -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 27 2012, 05:56 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	QUOTE(Kaissa @ Oct 27 2012, 04:33 PM) Sorpréndase del poder de la transformación isogonal. Presente. -------------------- Me voy, me jui.

Seba² Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 1 2013, 11:02 AM Publicado: #6
Dios Matemático Grupo: Moderador Mensajes: 269 Registrado: 30-August 10 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 76.269 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Para el problema 4, también se puede hacer Trazar la altura, y usar como corresponde una semejanza. Luego finalizar con un Menelao. . -------------------- Estudiante Instituto Nacional General José Miguel Carrera IV Medio(2013) 17 años. Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax² + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos. A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !

MatíasMoreno Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 4 2013, 03:51 PM Publicado: #7
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 217 Registrado: 5-April 11 Desde: no se :c Miembro Nº: 86.300 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Problema 4: Sea $TEX: $\angle DBA=\angle PCB=\alpha\Rightarrow \angle APC=\angle DBC=\beta$$ esto último debido a que el triágulo es isósceles. Prolonguemos $TEX: $DB$$ más allá de $TEX: $D$$ hasta un punto $TEX: $E$$ tal que $TEX: $\angle AEC$$ es recto, luego tracemos la altura $TEX: $AF$$ la cual divide al lado $TEX: $BC$$ en dos segmentos de igual medida $TEX: $CF=BF=k$$ . Veamos que $TEX: $\angle CPE=\alpha+\beta$$ por ser ángulo exterior del $TEX: $\triangle CPB$$ , entonces como el cuadrilátero $TEX: $EAPC$$ es cíclico se tiene que $TEX: $\angle EAC=\alpha+\beta$$ , pero fijemonos en que $TEX: $\angle ACB=\alpha+\beta$$ de donde podemos concluir que $TEX: $AE//BC$$ , y además como $TEX: $\angle AEC=\angle AFC=90$$ no es dificil concluir que $TEX: $AE=CF=BF=k$$ , y usando la semejanza de los triángulos $TEX: $\triangle DEA$$ y $TEX: $\triangle DBC$$ tenemos que $TEX: $DA:DC=AE:BC=k:2k=1:2$$ con esto finalizamos. Ahora tomandome más enserio el tema de las olimpiadas, estudiando más, con treino en el cuerpo (aprovechando a full de que el nacional está en toma XD), es primera vez que toco el problema desde que no me salió en la prueba, y me salió altiro. Pensar que en la prueba me estuve casi 2 horas cabezeandome con este problema, me dió algo de frustración pensar en eso pero bueno, será...xddd Les debo imágen Saludos -------------------- Cuando eliminamos lo imposible lo que queda, por improbable que parezca...siempre será la verdad... Nada tiene sentido, pero todo tiene significado.

MatíasMoreno Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 4 2013, 04:47 PM Publicado: #8
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 217 Registrado: 5-April 11 Desde: no se :c Miembro Nº: 86.300 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Problema 1: Pintemos de Rojo y Blanco las casillas del tablero y demosle coordenadas como en la figura, primero veamos que para llegar de una casilla de un color a una del mismo color se requiere de un número par de movimientos, luego el número mínimo de movimientos es par. Ahora si nos movemos en 4 o menos movimientos recorremos a lo más 12 casillas, pero al recorrer esta distancia vemos que nos faltarán al menos dos casillas para alcanzar la superior derecha. Luego basta mostrar una configuración (secuencia) para 6 movimientos, tomemos (F,2);(D,3);(C,5);(A,6);(C,7);(A,8) y con eso estamos listos, el número mínimo de movimientos es 6. Saludos Archivo(s) Adjunto(s) tablero.jpg ( 46.17k ) Número de descargas: 10 -------------------- Cuando eliminamos lo imposible lo que queda, por improbable que parezca...siempre será la verdad... Nada tiene sentido, pero todo tiene significado.

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 16 2021, 10:00 AM Publicado: #9
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	P3 $TEX: Sean $a_i$ la cantidad de amigos que hizo el día $i$ y definamos $s_i = \sum_{j=1}^i a_i$ es decir, la cantidad de amigos que hizo hasta el día $i$, es claro que $s_i<s_{i+1}$ para todo $i$ pues cada día hizo al menos un amigo, además $s_{30} = 45$ luego, es posible probar inductivamente que $s_i\geq i$ y $s_i\leq 15+i$. Tomemos el conjunto $\{s_1,...,s_{15}\}$, por el principio de palomar existen $i,j$ con $1\leq j<i\leq 15$ tal que $s_i\equiv s_j \ (\text{mod }14)$ luego, $s_i-s_j\in\{14,28,42\}$. Claramente si $s_i-s_j = 14$ tenemos que los días en los días $(j+1,...,i)$ hizo 14 amigos y concluimos. Si $s_i-s_j = 42$ entonces $s_i=s_j + 42$, pero es imposible pues $s_{i}\leq 15+i\leq 15+15=30$. Y por último, si $s_i -s_j=28$ entonces $s_i = s_j + 28\geq 29$ pero $s_i\leq i+15$ luego $i\geq 14$ por tanto $i\in \{ 14,15 \}$. Si $i=14$, sabemos que $s_i\geq 29$, pero $s_{14}\leq 14+15=29$ por tanto $s_{14} = 29$, luego, en el conjunto $\{ s_{15},...,s_{29} \}$ hay 15 números (distintos) entre 30 y 44 por lo tanto $s_{15+k} = k+30$ con $k\geq 0$ y así basta tomar los días $(15,16,...,28)$ y concluimos. Si $i=15$, entonces $s_{15}\in \{29,30\}$, si $s_{15} = 30$, volvemos al caso anterior y se concluye. Si $s_{15} = 29$ se tiene que en el conjunto $\{a_{16},...,a_{29},a_{30}\}$ (15 cantidades) debemos repartir 16 amigos y sabemos que $a_k\geq 1$ por lo tanto existe $n\geq 16$ tal que $a_{n}=2$ y para $k\neq n$ se tiene que $a_k=1$ con $k\geq 16$ luego basta tomar los días $(16,17,....,n,...,28)$ (si $n\leq 28$) y si $n> 28$ tomar $(18,..,n..,30)$ y concluimos. Por lo tanto, en cualquier caso existe una secuencia de días consecutivos en donde se hizo de exactamente 14 amigos.$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

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