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> Propuesto ecce homo 2, mas sobre x^t+y^t=1
2.718281828
mensaje Oct 26 2012, 09:41 AM
Publicado: #1


Dios Matemático Supremo
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TEX: Considere la funcion $t:(0,1)^2\to \mathbb{R}^+$ que llamamos $t(x,y)=t$ definida implicitamente como:<br />$$x^t+y^t=1,(x,y) \in (0,1)^2$$<br />(esto resuelve el problema: dado un punto $X$ en el cuadrado $[0,1]^2$ encontrar un $t$ tal que $\|X\|_t=1$, es decir, es unitario bajo esa norma)
TEX: muestre que:<br />\begin{itemize}<br />\item $t$ es simetrica (t(x,y)=t(y,x)).<br />\item $t(x,x)=\frac{-\ln 2}{\ln x}$ <br />\item $t(x,y)=\lambda t(x^{\lambda},y^{\lambda})$<br />\item $t$ satisface la ecuación funcional $t(x^t,y^t)=1$<br />\item $t$ es constante en las curvas definidas por $x=\cos^{2/p}u$ e $y=\sin^{2/p}u$, $u \in (0,\pi/2)$<br />\item sea $t_0>0$ y un punto $(x,y)$ cualquiera, definamos $r=(x^{t_0}+y^{t_0})^{1/t_0}$ entonces se cumple <br />$$t_0=t(\frac xr,\frac yr)$$<br />\end{itemize}

Mensaje modificado por 2.718281828 el Jan 8 2013, 02:21 PM


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Claudio Henriquez Tapia
Ingeniero Civil Matemático UTFSM y Prof. DMAT UTFSM
Candidato a Doctor en Estadística UC. Campus San Joaquin
Si todo sale bien, estaría defendiendo en Julio 2024.

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