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Control 2 2012/2, primitivas, areas y volumenes, sumas de riemann, TFC

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carlosavendaño Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 18 2012, 10:52 AM Publicado: #1
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 16 Registrado: 7-July 11 Desde: Por ahí :D Miembro Nº: 91.594 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Control 2 P1. Calcule i)(2,0 ptos.) $TEX: $\displaystyle \int \dfrac{dx}{(sin(x))^2 (cos(x))^2}$$ usando el cambio de variable $TEX: u=tan(x)$ ii)(2,0 ptos.) $TEX: $\displaystyle \int \dfrac{x^2 arctan(x)}{1 + x^2}$$ iii)(2,0 ptos.) $TEX: $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{n^2} \displaystyle \sum_{k=1}^{n} ksin(\dfrac{k \pi}{2n})$$ P2. i)(3,0 ptos.) Considere la región del primer cuadrante encerrada por la parábola $TEX: $y^2=4ax$$ , $TEX: $a>0$$ y la recta $TEX: $y=x$$ . El segmento AB de la figura se mueve paralelo al eje OX apoyando sus extremos A y B en la parábloa y la recta respectivamente. Encuentre el volumen del sólido que se genera al levantar cuadrados de lado AB en cada posición de este segmento dentro de la región indicada. figura1.jpg ( 21.11k ) Número de descargas: 14 ii)(3,0 ptos.) Considere la región limitada por la curva $TEX: $y=\dfrac{1}{a}(x - 2a)^2$$ y el eje OX para x $TEX: $\in$$ [2a,3a]. Calcule los volúmenes de revolución generados por la rotación de esta región en torno al eje OX y OY. P3. a) Sea $TEX: $f$$ una funcion continua en $TEX: $\mathbb{R}$$ que satisface la siguiente ecuación: $TEX: $xsen(\pi x)=\displaystyle \int_{0}^{x^2}f(t)dt$$ i) (2,0 ptos.) Encontrar $TEX: $f(4)$$ ii) (2,0 ptos.) Usando la continuidad de $TEX: $f$$ , calcule $TEX: $f(0)$$ b) (2,0 ptos.) En la figura se muestran dos regiones en el primer cuadrante: $TEX: $A(t)$$ es el área bajo la curva de $TEX: $y=sen(x^2)$$ desde 0 hasta t y $TEX: $B(t)$$ es el área del triangulo de vértices $TEX: $O, P(t,sen(t^2))$$ y $TEX: $(t,0)$$ Calcule $TEX: $\displaystyle \lim_{t \to 0^+} \dfrac{A(t)}{B(t)}$$ figura2.jpg ( 20.17k ) Número de descargas: 13 Mensaje modificado por carlosavendaño el Oct 21 2012, 10:05 AM --------------------

::..:: Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 2 2012, 03:28 PM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 110 Registrado: 26-December 10 Miembro Nº: 82.285 Nacionalidad: Sexo:	P3 A.1) $TEX: \[<br />xsen\left( {\pi x} \right) = \int_0^{x^2 } {f\left( t \right)dt} <br />\]<br />$ Derivamos la expresión y por Teorema fundamental del Cálculo tenemos que: $TEX: \[<br />sen\left( {\pi x} \right) + \pi x\cos \left( {\pi x} \right) = f\left( {x^2 } \right) \cdot 2x \Rightarrow f\left( {x^2 } \right) = \frac{{sen\left( {\pi x} \right) + \pi x\cos \left( {\pi x} \right)}}{{2x}}<br />\]<br />$ $TEX: \[<br />f\left( 4 \right) = f\left( {2^2 } \right) = \frac{{sen\left( {2\pi } \right) + 2\pi \cos \left( {2\pi } \right)}}{4} = \frac{\pi }{2}<br />\]<br />$ A.2) Como $TEX: \[<br />f<br />\]<br />$ es continua entonces $TEX: \[<br />\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)<br />\]<br />$ existe. Además notar que: $TEX: \[<br />\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( {x^2 } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)<br />\]<br />$ El límite es de la forma indeterminada $TEX: \[<br />\frac{0}{0}<br />\]<br />$ y las funciones cumplen con la Regla de L'Hôpital: $TEX: \[<br />\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{sen\left( {\pi x} \right) + \pi x\cos \left( {\pi x} \right)}}{{2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\pi \cos \left( {\pi x} \right) - \pi ^2 xsen\left( {\pi x} \right)}}{2} = \pi <br />\]<br />$ Por lo tanto $TEX: \[<br />f\left( 0 \right) = \pi <br />\]<br />$ --------------------

::..:: Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 2 2012, 03:59 PM Publicado: #3
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 110 Registrado: 26-December 10 Miembro Nº: 82.285 Nacionalidad: Sexo:	P1 Sea $TEX: \[<br />u = \tan \left( x \right) \Rightarrow x = \arctan \left( u \right) \Rightarrow dx = \frac{{du}}{{u^2 + 1}}<br />\]<br />$ . Ademas: $TEX: \[<br />sen\left( x \right) = \frac{u}{{\sqrt {u^2 + 1} }}<br />\]<br />$ y $TEX: \[<br />\cos \left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {u^2 + 1} }}<br />\]<br />$ $TEX: \[<br />\int {\frac{{dx}}{{sen^2 \left( x \right)\cos ^2 \left( x \right)}}} = \int {\frac{{\frac{{du}}{{u^2 + 1}}}}{{\frac{{u^2 }}{{u^2 + 1}} \cdot \frac{1}{{u^2 + 1}}}}} = \int {\frac{{u^2 + 1}}{{u^2 }}} du = \int {du + \int {\frac{{du}}{{u^2 }}} } = u - \frac{1}{u} + C<br />\]<br />$ Deshaciendo la sustitución: $TEX: \[<br />\int {\frac{{dx}}{{sen^2 \left( x \right)\cos ^2 \left( x \right)}}} = \tan \left( x \right) - \cot \left( x \right) + C<br />\]<br />$ --------------------

manzanin	Nov 3 2012, 12:00 AM Publicado: #4
Invitado	Me parece que la P1 3 es así: $TEX: $$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n^{2}}\sum\limits_{k=1}^{n}{ksen\left( \frac{k\pi }{2n} \right)}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{k}{n}sen\left( \frac{k\pi }{2n} \right)}=\frac{4}{\pi ^{2}}\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\pi }{2n}\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{\pi k}{2n}sen\left( \frac{\pi k}{2n} \right)}=\frac{4}{\pi ^{2}}\int\limits_{0}^{\pi /2}{xsen(x)dx}$$$ Pero $TEX: $$\frac{4}{\pi ^{2}}\int\limits_{0}^{\pi /2}{xsen(x)dx}=\frac{4}{\pi ^{2}}\left[ senx-x\cos x \right]_{0}^{\pi /2}=\frac{4}{\pi ^{2}}$$$

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 3 2012, 12:22 PM Publicado: #5
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Por si acaso, $TEX: $$\frac{1}{{{\operatorname{sen}}^{2}}(x){{\cos }^{2}}(x)}=\frac{{{\operatorname{sen}}^{2}}(x)+{{\cos }^{2}}(x)}{{{\operatorname{sen}}^{2}}(x){{\cos }^{2}}(x)}={{\sec }^{2}}(x)+{{\cot }^{2}}(x).$$$

josemetal Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 3 2012, 03:39 PM Publicado: #6
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 147 Registrado: 11-March 12 Miembro Nº: 102.157 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P3. b Notemos que las areas son: $TEX: $$A(t)=\int_{0}^{t}\sin(x^{2})dx$$$ y $TEX: $$ B(t)=\frac{1}{2}t\sin(t^{2})$$$ Luego lo pedido es: $TEX: $$2\displaystyle\lim_{t\rightarrow 0^{+}}\frac{\displaystyle\int_{0}^{t}\sin(x^{2})dx}{t\sin(t^{2})}$$$ Aplicando la regla de LHopital: $TEX: $$2\displaystyle\lim_{t\rightarrow 0^{+}}\frac{\sin(t^{2})}{\sin(t^{2})+2t^{2}\cos(t^{2})}\overset{\underset{\mathrm{LH}}{}}{=}2\displaystyle\lim_{t\rightarrow 0^{+}}\frac{2t\cos(t^{2})}{2t\cos(t^{2})+4t\cos(t^{2})-4t^{3}\sin(t^{2})}$$$ $TEX: $$2\displaystyle\lim_{t\rightarrow 0^{+}}\frac{\cos(t^{2})}{3\cos(t^{2})-2t^{2}\sin(t^{2})}=\frac{2}{3}$$$ Finalmente el limite pedido es: $TEX: $$\lim_{t\rightarrow0^{+}}\frac{A(t)}{B(t)}=\frac{2}{3}$$$ -------------------- "La libertad de uno, termina donde empieza la de otro..." Estudiante de Ingeniería Civil en Mecánica (III año) -> Ayudante de Calculo II 2°sem. 2013 -> Ayudante Ecuaciones diferenciales 1° sem. 2014 Generador de codigo Latex

osmer Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 25 2013, 05:03 PM Publicado: #7
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 56 Registrado: 4-January 12 Miembro Nº: 99.867 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P1. Solución ii: 13.jpg ( 160.24k ) Número de descargas: 39 Espero les sea grata la solución ^^,

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