Miscelania de Ejercicios de Olimpiadas Internacionales Opciones

[f_emilio]

1.Las cifras de una calculadora (a excepcion del 0) estan dispuestas en la forma indicada en el cuadro adjunto, donde aparece tambien la tecla`+'.
7 8 9
4 5 6 +
1 2 3
Dos jugadores A y B juegan de la manera siguiente: A enciende la calculadora y pulsa una cifra, y a continuacion pulsa la tecla +. Pasa la calculadora a B, que pulsa una cifra en la misma la o columna que
la pulsada por A que no sea la misma que la ultima pulsada por A; a continuacion pulsa + y le devuelve la calculadora a A, que repite la operacion y asi sucesivamente. Pierde el juego el primer jugador que
alcanza o supera la suma 31. ¿Cual de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora y cual es esta?


2.Sean a, b enteros positivos, con a > 1 y b > 2. Demostrar que a^b+ 1≥ b(a + 1) y determinar cuando se tiene la igualdad.


3.Sean a,b,c números reales tales que la ecuación ax^2+bx+c=0 tiene dos soluciones reales distintas p1,p2 y la ecuación cx^2+bx+a=0 tiene dos soluciones reales distintas q1,q2. Se sabe que los números p1,q1,p2,q2, en ese orden, forman una progresión aritmética. Demostrar que a+c=0.

4.Sea ABC un triangulo acutángulo con ABC=60 y AB>AC.Sea I el incentro y H el ortocentro del triangulo ABC. Muestre que: 2 ∠AHI=3 ∠ABC

5.Sean x,y,z números reales positivos tales que √x+√y+√z=1 muestre que:
(x^2+yz)/√(2x^2 (y+z) )+(y^2+zx)/√(2y^2 (z+x) )+(z^2+xy)/√(2z^2 (x+y) )≥1

[MatíasMoreno]

P1

Si A comienza con 9, existe estrategia ganadora. Si se empieza con 9, B se ve obligado a jugar con 7,8,6,3; al jugar con 7 la suma es 16, si A juega con 9 nuevamente la suma es 25, con lo que obliga a B a jugar con 3, ya que si juega con 7,8,9 nuevamente la suma excede 31, luego al jugar con 3 la suma llega a 28, con lo que A juega con 2, llegando la suma a 30 con lo que B pierde si o si en su próximo turno. Nuevamente desde el comienzo, si B juega con 8, la suma es 17, y A nuevamente juega 9, llevando la suma a 26 obligando a B a jugar 3 (bajo el mismo argumento anterior), con lo que la suma llega a 29, entonces A juega 1, y B pierde nuevamente. Desde el comienzo, analizando el caso cuando B juega 6, la suma llega a 15, luego A juega 5 llevando la suma a 20, entonces B juega con 2,4,6 u 8 de donde A juega 8,6,4,2 llevando siempre la suma a 30 obligando a B a perder en el turno siguiente. En el último caso, B juega con 3 llevando la suma a 12, luego A juega 6 con lo que la suma es 18, luego B juega con 3,4,5,o 9, si B juega con 4 o 5, A siempre jugará con 6 llevando la suma a 28 y 29 respectivamente, y como se jugó 6 el número más pequeño al que puede jugar B es 3, excediendo a 31 perdiendo el turno. Por otro lado si B juega con 3,9 la suma es 21 y 27, con lo que A juega con 9 o 3 según sea el caso llevando la suma a 30, ganando el juego.

[master_c]

P3.-

[pprimo]

el 5 es Hölder

[nagernager]

Porque me suena de donde sacaste los problemas... Creo que se :X